阅读与思考 三角学与天文学教案设计范例

课题：阅读与思考《三角学与天文学》（人教A版必修4p17）

甘肃省榆中县第一中学 魏常聪

教学目标：1.通过学生动手参与,让学生认识生活中的三角视差最早在天文学中的应用,培养学生善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力. 2.通过本节学习,了解数学家在天文学方面所做的伟大贡献。了解三角学与天文学的关系，“视差法”测量天体距离及三角运算在天文学中所起的重要作用。

3.通过本节的学习,让学生体会三角学的主要内容，以及三角学与天文学相互促进的发展历程。渗透由抽象到具体的思想,加深对自然科学思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观. 教学重点：1、三角学及天文学

2、数学家对天文学所做的贡献

3、三角视差测量天体距离

4、探索开普勒轨道定律的发现

教学难点：三角视差在测量天体星座距离中的应用

教学准备：多媒体课件

教学过程：

自学导引：

一、三角学与天文学

三角学的起源、发展与天文学密不可分，它是天文观察结果推算的一种方法，1450年以前的三角学主要是球面三角，这不但与航海、历法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，而且也因为宇宙的奥妙对人类的巨大吸引力，这种“量天的学问”太诱人了，后来间接测量、测绘工作的需要出现了平面三角。

1、三角学：

研究平面三角形和球面三角形边角关系的数学学科。三角学是以研究三角形的边和角的关系为基础，应用于测量为目的，同时也研究三角函数的性质及其应用的一门学科。三角学分为平面三角学与球面三角学。它们都是研究三角形中边与角之间的关系的学科。平面三角学分为角的度量、三角函数与反三角函数、诱导公式、和与差的公式、倍角、半角公式、和差化积与积化和差公式、解三角形等内容；球面三角学研究球面上由大圆弧构成的球面三角形的边与角之间的关系，在天文学、测量学、制图学、结晶学、仪器学等方面有广泛的应用。

二、介绍最早为数学、天文学的发展做出巨大贡献的科

（1）雷格蒙塔努斯

（2）约翰尼斯·开普勒

（3）尼古拉·哥白尼

（4）弗朗索瓦·韦达、。

三角学的发展

（1）在欧洲，最早将三角学从天文学中独立出来的数学家

是德国人雷格蒙塔努斯，著作《论各种三角形》。2卷平面三角，明确使用了正弦定理。3卷球面三角，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理。为三角学在平面、球面几何中的应用奠定了牢固基础。对16世纪的数学家产生了极大影响。对哥白尼等天文学家产生了很大影响。

(2)由于雷格蒙塔努斯仅仅采用了正余弦函数，函数值限定在正数范围，不能推出应用的三角公式，后来哥白尼的学生雷提库斯将传统的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边的比，使平面三角从球面三角中独立出来，定义了六个三角函数。大大推动了三角学的发展，而且某种程度上导致了对数的发明。

(3)法国数学家韦达所做的平面三角与球面三角系统化工作，使三角学得到进一步发展，他在前人的基础上将平面三角形和斜三角形的公式汇集在一起，补充了自己发现的正切公式，和差化积公式，将斜三角形中的问题转化为直角三角形的问题，给出了计算的方法和一套完整的公式并表示成了代数形式，是非常重要的工作。

三、三角视差求天体距离

智慧源于生活，体现于生活。1838年，人类终于从生活的经验中首先想到了测定星体的距离。当时所用的方法就是今天要介绍的“视差法”。

在天文学上，观察者在地球上，以较远的星空为背景，观察

一颗较近的恒星。由于地球位置的变动，地球上的观察者所见的较近的恒星相对于较远的星空的位置就有了偏移。

1、如何测量恒星距地球的天体距离

探索天文学问题，用已有的三角函数知识能否测量宇宙中某颗恒星到我们的距离？如何测量？（小组讨论） 2、学生活动，体验视差：请学生动手做一做。伸出一只手指，分别闭上左、右眼看某物体，你会发现手指相对于背景物体的位置变动了。手指距离眼睛越远，变动越小。手指并没有实际移动，之所以看起来相对于较远的背景有偏移，是因为观察的位置变动了，这就是“视差”。

2、恒星视差与天体间距离计算

（1）在地球上观测恒星也有视差现象。此时基线就是地球轨道的直径，被观测恒星的视差就是太阳、恒星与地球所形成的内角P，随着地球公转，恒星就如下图所示出现周年视差运动，恒星距离我们愈近(d)，视差p就愈大，反之亦然。

（2）秒差距：秒差距是天体距离的单位，有视差(Paral)及角秒(Arc-Seconds)两个英文合成，简称PC，是周年视差P的倒数1/P。天体的周年视差为1角秒时，他距离我们为1秒差距。由于1角秒所对应的两条边的长度差异完全可以忽略，因此，这个三角形可以想象成直角三角形或等腰三角形。

1秒差距

= 3.26光年。

四、应用举例：探索开普勒轨道定律的发现

（1）如何从行星的使人眼花缭乱的视行中推出它们的“真实”轨道？只要想到人们永远不可能看到行星的真实运动，而只能从运动着的地球上看到它们在天空的什么方向，就知道问题困难了。倘使行星所作的是简单的匀速圆周运动，从地球上看去，还比较容易地察觉这种运动该是怎样的；可是实际情形比这要复杂得多，而且地球本身同样是以某种未知方式绕太阳运动。这就使问题变得无比复杂和困难了。

（2）开普勒用一个绝妙方法把这种杂乱无章的现象理出一个完整清楚的头绪来。他同哥白尼一样，敏锐地领悟到，“要研究天，最好先懂得地”，他也把着眼点放在地球上，力图先摸清地球本身的运动，然后再研究行星的运动。多年积累的观测资

料，仔细分析研究，发现了行星沿椭圆轨道运行，并且提出行星运动三定律(即开普勒定律)，为牛顿发现万有引力定律打下了基础。

（3）展示ppt太阳系中的八大行星：由近及远依次是水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星。

五、三角学与天文学的分离：

十六世纪，三角学从天文学中分离出来，成为独立分支，后来，在微积分、物理学的研究和应用中，三角学又找到了新的用武之地。

六、课后作业：

查阅三角学和天文学相关资料，了解数学对天文学的发展中所起的作用。

七、教学反思：

这节课在人教A版必修4的课本第17页，阅读与思考，属于三角函数章节的拓展内容，设计到三角学与天文学的萌芽、发展、分离为单独的学科；三角学在天文学中的应用；数学家为天文学的发展做出的贡献；探索开普勒轨道定律的发现。这节内容要求教师要储备大量的课外知识，对教学能力要求高。