小结教学设计和教学实录

《平面向量》复习课教案设计

昆明市第十四中学

陈艳斌

2017年12月7日

一、高考分析

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：平面向量是联系代数、几何、三角的重要工具，作为集数与形于一体的数学知识，是高中数学数形结合思想的典型体现。平面向量作为高考的必考内容，试题以选择题、填空题为主。考查平面向量主要涉及平面向量的夹角、模长、线性运算、数量积、坐标运算、两向量的平行与垂直等。因此，对平面向量的学习要重基础重灵活，注意知识间的相互联系，挖掘题目的隐性条件，突出向量的工具作用，努力开阔学生的视野，提升学生解决问题的能力。

二、学生学情分析

学生通过之前的学习，已经掌握解决平面向量问题的基本方法，能够解决基本的平面向量问题。学生的难点在于，不能充分发现题目中的隐藏信息，不能很好地由数量关系去寻找几何特征，数形转化的能力仍有待加强。

三、教学目标分析

知识与能力目标：（1）掌握向量模、数量积的计算方法

（2）认识并运用向量的积化恒等式

过程与方法目标：（1）通过系列问题的解决，形成数量积求解的一般方法体系

（2）经历由静到动的过程，体会题目的动态联系及本质特征

（3）渗透转化与化归、数形结合的数学思想方法

情感态度与价值观：体验“寻找联系，形成方法”的探索过程

四、教学重难点分析

教学重点：平面向量的数与形转化、数量积的一般解法

教学难点：平面向量的数与形转化

五、教学设计

1、开门见山，问题引入

例1：（《必修4》，P108，习题A组，2）

rrrrrrrr

已知a2，b5，agb3，求ab、ab

问题1：请大家计算结果。

问题2：求向量的模，常用的方法是什么？

问题3：它体现的几何意义是什么？

说明：选用该例题的目的是：

（1）

该题选自教材，要求学生熟练掌握的题型和方法，也明确备考的过程要重视教材，注重教材的分析和研究；

（2）

该题的几何意义很丰富，既可以构造平行四边形，联系余弦定理，又可以导出向量的积化恒等式。

练习：（2017，全国Ⅰ）

rrrrrro已知向量a,b的夹角为60，a2，b1，则a2b

说明：通过练习，进一步巩固基本方法。

变式：已知rarb5，rabr1，求ragrb

问题4：请大家计算结果。

问题5：请大家给出一个一般化的结论。

问题6：它体现的几何意义是什么？

说明：通过变式，得到向量的积化恒等式：ragrb1r4arb2rarb2

在VABC中，D为BC边上的中点，则uABuurguACuuruADuur2uDBuur2

2、例题练习，丰富方法

例2：等边VABC的边长为2，O为中心，则OBuuurgOCuuur

方法分析：法一：建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解

设O30,3,B,C1,01,0，

则OBuuurr3uuu31,3，OC1,3



故OBuuurgOCuuur11233

法二：利用向量数量积的几何意义

取AB中点D，则OBuuur在OCuuu

r上的投影为OD，

则OBuuurgOCuuurODuuurgOCuuur3232333

法三：运用向量数量积的定义

OBuuurgOCuuur233233cos120o4123(2)3

法四：运用积化恒等式

取BC中点F，连接

则OBuuurgOCuuurODuuuruuOFDBur，

2212313

说明：通过例2的学习，归纳总结向量数量积的一般求法，形成方法体系。

A B D C A O B C

练习：（2017，全国Ⅱ）

uuruuruuurP为平面ABC内一点，

等边VABC的边长为2，则PAgPBPC的最小值为（

）

34

C.

D.1

23uuruuruuuruuruuuruuruuuruuur

分析：取BC中点D，则PBPC2PD，故PAgPBPC2PAgPD

A.2

B.

法一：建立平面直角坐标系

uuruur

设Px,y，则PAx,3y，PAx,3y

A P B C uuruuruuuruuruuur

故PAgPBPC2PAgPD

2

2xyy3

D 2332

2xy

243

从而，最小值为

2uuruuruuuruuruuur

法二：PAgPBPC2PAgPD

A P B C D uuruuuruuruuur

要使PAgPD最小，则PA与PD反向，即点P在线段AD上

uuruuur22uuruuuruuruuurPAPD33

因为

PAPD3，所以PAgPD

224

故最小值为233

42A E B D P C

法三：取AD中点E，由向量的积化恒等式得

uuruuruuuruuruuuruur2uuur2

PAgPBPC2PAgPD2PEED

uur232uur232PE

2PE42uur

显然，当点P与点E重合时，PE0

min

从而，最小值为3

2说明：通过练习题的思考和学习，实现方法的提升，体会不同知识的交汇，体验转化的过程。

3、总结提高

问题7：通过本节课的学习，你有什么收获？你还有什么需要解决的问题？