2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质课一等奖

平面向量的正交分解和坐标表示

教学目的：

（1）了解平面向量正交分解；理解平面向量的坐标的概念； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用坐标来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量的坐标表示.

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量基本定理的内容是什么？

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2. (1)

我们把不共线向量e1,e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底

(2)

基底不唯一，关键是不共线

(3)

由定理可将任一向量a,

在给出基底e1,e2的条件下进行分解

1(4)

基底给定时，分解形式唯一。λ1，λ2是被a,e分别用给定的一组基底表示同一向量a,2．

,e2唯一确定的数量

a

；分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b)=λ 结合律：λ(μa)=(λμ)ab= 3. 向量共线定理 向量eeb与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使m12a二、讲解新课：

n31ae12e2； 2an3m

答案：2思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量

a

进行分解比较简单？

二、新课讲授：

m1．正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

a（1）在平面上，如果选取互相垂直向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。

（2）思考：我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？

2.平面向量的坐标表示：

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任1

作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj…………○2

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)…………○

2式叫做向量的坐标表示.与其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○．a相等的向．．．．量的坐标也为．．．．．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 3．课堂练习：

写出以下向量的坐标，其中

i,j 是与x轴，y轴方向相同的单位向量。

1a=2i+3j2a=2i-3j

3a=-i-3j 4a=-5j 5a=-4i4.如图，向量a平移到向量．．．．．b，请回答下列问题：b

（1）向量a与b有什么关系？ab

(2)你能说出向量b的坐标吗？bx,y

（3）相等向量坐标相同

．．．．．．．．

4．向量的坐标与点的坐标：

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 5.例题讲解：

例1．教材P96面的例2。

变式练习：如图，用基底i,j分别表示向量a,b,c,d

并求出它们的坐标.

6.思考：结合图形，根据例题分析某个向量坐标与它的始点坐标和终点坐标的关系。

（1）若A(x1,y1),B(x2,y2),则ABx2x1,y2y1

(2)ABOBOAx2,y2x1,y1x2x1,y2y1

(3)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标

课堂练习：P100面第3题。

7．例题讲解：

例2．已知：a(x1,y1)，b(x2,y2)，求ab、ab、a的坐标。

三、课堂小结：（1）平面向量正交分解； （2）平面向量的坐标的概念；

四、课后作业：《基础训练》第61页到第62页。