阅读与思考 相关关系的强与弱教学设计案例

3.2．2两个变量的线性相关教学设计

课时安排：2课时

一．内容及其解析

本节课内容作为上节课线性回归方程探究的知识发展，在知识上有很强的联系，所以，核心概念还是回归直线。在内容重点的侧重上，本节课与上节课有较大的区别。

二．教学目标及其解析

本节课要求学生了解最小二乘法思想，掌握根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，理解线性回归方程概念和回归思想，在以上过程中体会随机思想。

三．教学问题诊断分析

教学中，要防止两种倾向：一是直接套用回归系数公式求解回归方程而回避说理过程；二是过多纠缠于数学刻画过程，甚至在课堂内花大量时间对回归系数公式进行证明说理。这两种倾向，都脱离了实际情况，前者忽略了“最小二乘法思想”，迷失了本节课的教学目标；后者人为拔高教材要求，脱离了本节课教学要求。

四．教学支持条件

本节课需要运用回归系数公式求解回归直线，此过程要进行大量的运算，需要科学计算器减少繁琐的计算。在后续例题的解决过程中，还需借助Excle软件，通过大量的回归直线比较分析，体会回归思想和随机思想，因此需要多媒体电脑展示设备支持。

五．教学过程设计

问题 怎样理解用最小二乘法求线性回归方程？

问题1：你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？

问题2：偏差有正有负，我们可以怎么规避？比较绝对值处理和平方处理，我们选择哪种合适？

设计意图：几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，体验“最小二乘法思想”。

问题3：从代数上说，偏差最小既哪个量最小？当样本点的坐标（xi，yi）确定时，上述表达式可否化为关于a、b的二次式呢？

设计意图：体会最小二乘法思想，不经历公式化简无法真正理解，而直接从n个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度。而由具体到抽象，

由特殊到一般，是学生顺利完成认知过程的一般性原则。通过此问，让学生了解化简的结果，在此过程中，既熟悉了新符号，又通过观察展开式，能唤起学生已有认知结构中关于处理带参数的二次多项式最小值问题的数学处理方法，揭示n个点的代数式本质也是关于a、b的二次多项式，从而了解最小二乘法思想，突破教学难点。

问题4：这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求a,b的值，你会按怎样的顺序求呢？[来源:Z§xx§k.Com]

设计意图：公式不要求推导，又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识，通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解。

问题5：求线性回归方程的步骤是什么？

(1)计算平均数x,y；

(2)计算xi与yi的积，求xiyi；(3)计算xi；

2[来源:学科网]

(4)将结果代入公式bxiyinxyi1nn,求b；

xi12inx2(5)用

aybx,求a；

(6)写出回归方程

问题6：回归直线通过样本点中心，观察此公式，比照平均数与样本数据之间的关系，你能发现回归直线方程如何体现这点？

设计意图：在不确定问题探讨中出现的确定性性质，比较有戏剧性，能再次激发学生的探究欲望，而此问题的探究，使得学生在“回归直线是两个变量具有相关关系的代

表”的理解上，上升到“回归直线是双变量样本点的中心”这一高度，深化对回归直线和回归思想的理解，完成学生认知结构的再次建构。

例题:给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：

施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45

水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455 (1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线方程

解：(1)散点图（略）．

(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格

i xi

yi

xiyi

1 15 330 4950 2 20 345 6900 3 25 365 9125 72ii14 30 405 5 35 445[来源:Z|xx|k.Com]6 40

450 7 45 455 12150 15575 18000 20475 7i1x30,y399.3,xi172i7000,y1132725,xiyi87175

87175730399.34.75,故可得到

70007302a399.34.7530257b从而得回归直线方程是y4.75x257．

变式训练 课本92页

练习第2题

六、课堂小结

本节课主要学习了两个内容1o求线性回归方程的步骤：（1）计算平均数x,y； (2)计算xi与yi的积，求∑xiyi; (3)计算∑xi2,∑yi2，

n(xix)(yiy)i1bn(4)将上述有关结果代入公式(xix)2i1aybx^xyii1ni1ninxy,

xi2nx2求b,a,写出回归直线方程．

2o经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 七．目标检测

1、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）

A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积

C.正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高

答案：Ｄ

2、三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（ ）

A.y=5.75-1.75x B.y=1.75+5.75x C.y=1.75-5.75x D.y=5.75+1.75x 答案：Ｄ

3、已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y（万元）,有如下统计资料：

使用年限x 维修费用y 2 2．2 3 3．8 4 5．5 5 6．5 6 7．0 ^^^^ 设y对x呈线性相关关系．试求：

（1）线性回归方程y=bx+a的回归系数a,b；

（2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？

答案：（1）b=1.23,a=0.08；（2）12.38. 4、我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型,δ为误差项,模型如下：

模型1：y=6+4x；模型2：y=6+4x+e．

（1）如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值；

（2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．解：（1）模型1：y=6+4x=6+4×3=18；

模型2：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.

（2）模型1中相同的x值一定得到相同的y值,所以是确定性模型；模型2中相同的x值,因δ的不同,所得y值不一定相同,且δ为误差项是随机的,所以模型2是随机性模型．

八、配餐作业

A组

1．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得：xi＝52，yi＝228，x＝478，xiyi＝1849，2ii1i1i1i18888[来源:Z#xx#k.Com]^

则y对x的线性回归方程是( )

ˆ＝11.47＋2.62x (A)yˆ＝2.62＋11.47x

(C)y

ˆ＝－11.47＋2.62x

(B)yˆ＝11.47－2.62x

(D)yˆ＝7.19x2．一位母亲记录儿子3～9岁的身高，由此建立了身高与年龄的回归模型为y＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( ) (A)身高一定是145.83cm (C)身高在145.83cm以下

(B)身高在145.83cm以上

(D)身高在145.83cm左右

3．三点(3，10)，(7，20)，(11，24)的回归直线方程是( ) ˆ＝1.75x－5.75 (A)y

ˆ＝－1.75x＋5.75 (C)yˆ＝1.75x＋5.75 (B)y

ˆ＝－1.75x－5.75 (D)yB组

4．对一质点的运动过程观测了3次，得到如下表所示的数据

刻画y与x关系的线性回归方程为______．

x y 1 1 2 3 3 5 5．某农场粮食产量的统计结果如图1所示，从图中我们可以看到前n年的粮食总产量yn与n之间的关系．则从目前的统计结果来看，前______年的年平均粮食产量最高．

图1 [来源:Zxxk.Com]

6．下表提供了某厂节油降耗技术推广后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生

产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据

x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；

ˆ＝bx＋a；

(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回

归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)

九、教学反思：