2.1.3 相等向量与共线向量教案设计

2.1.3 相等向量与共线向量

贵州省毕节市七星关区海子街中学 靳涛

教学目标

重点:

理解并掌握相等向量、共线向量的概念，能在图形中辨认相等向量和共线向量．

难点：从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点．

知识点：相等向量、共线向量概念的理解. 能力点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 教育点：通过介绍相等向量、共线向量概念，给学生渗透平移变换及数形结合的思想. 自主探究点：向量共线与所对应点共线的不同. 考试点：正确理解平行向量、相等向量和共线向量的概念，并能区别. 易错易混点：向量共线则对应点是否共线. 拓展点：利用向量的方法证明直线与直线的平行问题．

一、

引入

首先让我们一起来欣赏一首关于向量的数学小诗：

我的向量

给你一个方向,你就是我的向量. 给你一个坐标系,你就在我心中飞翔. 给你一组基底,带着我,扬帆启航. 繁复的几何关系,变成纯代数的情殇. 优美的动态结构,没有人情冷暖世态炎凉. 哪怕山高路远,哪怕风雨苍茫,不管起点在哪,你始终在水一方. 啊,我的向量,你是一股无穷的力量,溶进了我的身体,在我的心中,静静地流淌！

【设计意图】创设情景

问题1：向量与数量有什么联系和区别？

向量有哪几种表示？

问题2：什么叫向量的模？零向量、单位向量、平行向量分别是什么概念？

【设计意图】复习回顾，便于学习新知．

【设计说明】学生回答．

引入：数学中，引进一个新的量后，为了进一步研究的需要，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．那么如何规定“相等向量”呢？

【设计意图】使学生在已有知识的基础上，探索新知，引出本课题．

【设计说明】教师指出相等向量正是我们接下来要探究的问题．

二、探究新知

探究一：相等向量

探究概念

思考1：因为向量完全由它的方向和模确定．对于两个非零向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？

思考2：我们知道两个向量不能比较大小，只有模等与不等，方向同与不同的区别，那么我们如何规定两个向量相等？

得出概念

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．

说明：（1）向量a与b相等，记作a

=b； （2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. 思考3:在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段是否表示同一个向量？

【设计意图】加深对有向线段和向量的理解，便于学生正确理解相等向量的概念．

【设计说明】让学生独立思考，自己归纳总结．

理解概念

思考4：对于非零向量AB和CD，如果AB=CD，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？

思考5：对于非零向量AB和CD，如果AB=CD，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？

学生画图寻找答案

A B C D A B

C D 探究二：共线向量

探究概念

思考1：如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

生：方向相同或相反．

思考2：我们知道方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行向量所在的直线一定互相平行吗？

思考3：将向量平移，不改变其长度和方向．如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作OA=a，OB=b,

OC=c，那么点A、B、C的位置关系如何？

师生共同：

a

b B O C A c l

生：A、B、C三点共线．

师总结：上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．

得出概念

共线向量：平行向量也叫共线向量．这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上．

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．

【设计意图】进一步理解平行向量、共线向量的概念，区别相应直线平行、共线．

【设计说明】让学生结合上图自己归纳总结．

思考4：若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等吗？反之，若向量

a与b相等，则向量a与b平行（或共线）吗？

思考5：对于向量a、b、c，若a // b，

b // c，那么a // c吗？

思考6：对于向量a、b、c，若a =b，

b =c，那么a = c吗？

三、运用新知

例1.

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量．师生活动：学生口答，教师板书．

B 解：OACBDO

C O A F E 

OBDC

OCABE

OD ED

OF变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量OA共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）

【设计意图】让学生巩固相等向量与共线向量的概念．

【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．

例2.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. (1)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；

(2)不相等的两个向量一定不共线；

(3)若向量a与b共线，b与c共线,则向量a与c共线；

(4)任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点；

(5)向量ａ与ｂ不共线,则ａ与ｂ都是非零向量；

(6)有相同起点的两个非零向量不平行。

解：(1) 不正确．相等向量要求大小相等且方向相同，而共线向量方向可以相反．

(2) 不正确．方向相反的两个向量不相等但共线．

(3) 不正确．如果向量a与c为非零向量b为零向量时不成立．

(4) 不正确．如图AB与BC相等，他们在一条直线上．

(5)正确．

(6) 不正确．有相同起点的两个非零向量可以平行也可以不平行。

【设计意图】让学生能够通过这些问题，弄清向量学习中比较容易混淆的几个基本概念．

【设计说明】师生共同分析，学生自己找出错误的原因．

A B C 四、课堂小结 1．知识：(1)相等向量的定义；共线向量的定义；相等向量、平行向量、共线向量三个概念的区别与联系．

2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条

有向线段表示,并且与有向线段的起点无关

3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、

共线是不同的概念，平行向量（共线向量）

对应的有向线段既可以平行也可以共线. 4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性. 五、布置作业

P77-78习题2.1

A组

第3，4题

B组

第1, 2题

六、老师寄语：

向量中也有着丰富的文化内涵,寓言故事《南辕北辙》告诉我们,很多时候,方向是否正确对事情的结果至关重要,向量的方向就像我们的人生目标或理想,向量的模就是我们为了达到目标而付出努力的多少,只有具有了向量的这两个条件我们才能实现自己的理想！

七、板书设计

相等向量与共线向量

一、复习回顾

二、新课探究

1、

共线向量

2、

相等向量

三、典型例题

例1、

变式一

变式二

变式三

例2 练习

四、课堂小结

五、作业

六、老师寄语