2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示第二课时教案

向量数量积的定义

一、教学设计

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

二、教学目标

1知识与技能：阐明平面向量的数量积及其几何意义.会算一个向量在另一个上投影的概念，运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义. 2过程与方法：以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

3情感态度与价值观：由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想，类比思想，体验法则学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。

三、教学重难点

1、重点：平面向量数量积的定义。

2、难点：平面向量数量积的定义的理解。

四、教学准备

1、实验教具：计算机、黑板、粉笔

2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。

五、教学过程

师生互动

设计意图

教学环境

教学内容

复习提问

向量的的概念：有大小和方向的量。及向量的加法、

减法、数乘等运算。

创设情景

(如图)一个物体在力F

的作用下产生的位移s，老师提问，学由旧知识引出新内且F与s的夹角为,那么力F

所做的功应当怎样计生思考

容，同时联算？

W=︱s︱︱F︱cosθ

定义形成

F θ

s 系物理和数学，理解具体与一般的关系

生注意，1.夹角必须是是a称作向量a和向量b的作夹角

，记作<,b>

，并规两个向量同起点，及夹角定0≤≤π。注意：

=

> ,(1)

范围



=0时,

a与b同向；(2) =π时,

a与b反2.数量积的定义式的形式，向；=时，记作：a⊥b

注意特殊向2量零向量

老师引导学

1.已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，2.我们把数量

︱a︱·︱b︱cosθ

叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b

当为锐角时，a·b为正数；

aa当<,b>为钝角时，·b为负数；

当a⊥b时，a·b为0 规定0与任何向量的数量积为0 举例应用

例1、如图，等边三角形中，求

A 学生自己动手简单应用

（1）向量AB与向量AC的夹角；

以及总结数量积的运算

（2）向量AB与向量BC的夹角。

B

C 规律

让学生由理论到实际操作，逐步熟悉、深入

解：（1）=60o （2）=120o

o例2．已知a5,b4,a,b120,求ab. 解：a

·

b=︱a︱︱b︱cos

=5×4×cos120o

=－10

定义深化

轴l的垂线，垂足分别为Ol，Al，则向量OlAl叫做向

量a在轴l的正射影该射影在轴l上的坐标，称作a在



轴l上的数量。alacos

例3：已知轴l

（1）向量OA5，OA，l60o,求OA在l上的正射影的数量OA1

o（2）向量OB5，OB，l120,求OB在l上的正射影的数量OB1

学生自己回

顾、探索，根，l=5×1=5

解：(1) OAl=︱OA︱cosOA据已有知识2215，l=5×()=－

得到问题的(2) OBl=︱OB︱cosOB答案

22

向量OA=a与轴l的正向所成角为θ，过O，A分别作

培养学生自己动脑、动手探索总结的习惯

向量的数量积的几何意义：

a·b=abb或baa

练习

：

1、已知a5,向量b在向量a上的正射影的数量3,

求ab2、已知b5,向量a在向量b上的正射影的数量3,

求ab解：(1)

a

·

b=ba︱a︱=15

(2)

a

·

b=ab︱b︱=－15

向量数量积的性质：

（1）

如果e是单位向量，则a·e=e·a=︱a︱cos （2）

a⊥b

a·b=0 （3）

a·a=︱a︱2，即︱a︱=aa

ab（4）

cos=

（︱a︱︱b︱≠0）

ab

aa（5）

︱·b︱≤︱︱︱b︱

当堂达标

1、在ABC中，BA=a，BC=b且ab0，则ABC是：（

C ）

A、锐角三角形

B、直角三角形

C、钝角三角形

D、等腰直角三角形

2、已知，若ab10,b4

a5,求a与b的夹角

1ab10解：cos=== 

2ab54课堂小结

所以θ=120o 1.

向量的数量积的定义及相关注意事项

2.

向量的数量积的性质

写出基本框架，然后让学生添加具体内容

进一步体会数学的严谨性，培养学生思考的能力与习惯

养成学生看书习惯

作业

反思教材本节内容

教材109页，练习A，1、2；练习B，1、2

六、板书设计

2.3向量数量积的定义

一、向量的夹角：

0a,b二、数量积的定义：a

babcosa,b三、正射影：

数量积的几何意义

四、数量积的性质：

课件演示