复习参考题教学设计(第一课时)

第一章

三角函数复习教案

教学目标：

对必修4第一章重点知识进行专题复习；

教学重点、难点

重点、难点：

1. 任意角和弧度制问题的解题策略

2. 扇形的弧度和面积问题常见题目及解法

3. 活用诱导公式解题

4. 三角函数的图象及性质知识总结

5. 求初相的题型及解法分析

教学过程：

（一）任意角和弧度制问题

A{|例1、

已知集合k2，kZ}{|2k，kZ}23，

B{|2k，kZ}{|k，kZ}32，那么集合A、B的关系是什么？解：考虑在0,2内，A、B的子集分别为

2，243，，，，2}332

243，，，2}332

A1{0，B1{0，2，再利用周期性，知B是A的真子集。

A{|30k36090k360，kZ}，

例2、

已知集合B{|45k36045360，kZ}，求A∩B。

解：如图，集合A中角的终边在阴影（Ⅰ）内，集合B中的角的终边在阴影（Ⅱ）内，

因此集合A∩B中的角的终边在阴影（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共部分，所以

AB{|30k36045k360，kZ}

y

(I)

45°

30°

O

x

(II)

-45°

（二）扇形的弧度和面积问题常见题目及解法

例3、解答下列各题：

（1）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2求扇形圆心角的弧度数；

（2）已知扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，求扇形的面积；

（3）已知扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解：（1）设扇形的圆心角的弧度数为(02)，弧长为l，半径为r，依题意得

l2r101lr42

消去l得：r5r40

解之得2r11，r24

当r＝1时，l＝8，此时8rad2rad，不合题意，应舍去

当r＝4时，l＝2，此时21(rad)42

（2）设扇形弧长为l，半径为r。

72721802(rad)5

lr2208(cm)5

S12lr1282080(cm2)

（3）设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l2r40

l402r

S12lr12(402r)r20rr2(r10)2100

∴当半径为r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，lr40210102rad。

（三）活用诱导公式

sin(2n2例4、

求3)cos(n43)的值（nZ）

解：（1）当n为奇数时

sin23(cos4原式3)

sin(3)[cos(3)]

sin3cos3312234

（2）当n为偶数时

sin2原式3cos43

sin(3)cos(3)

sin3(cos3)

32(132)4

（四）三角函数的图象及性质知识总结

此时

1. 能熟练画出函数yAsin(x)B的草图，会研究其奇偶性，单调性，周期，最值。已知图象会求A，ω，φ，B。

2. 熟练掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的图象、奇偶性、单调性、最值

3. 求三角函数的周期最常用的四种方法：

（1）公式法：yAsin(x)B的最小正周期是T2||；

（2）yAtan(x)B的最小正周期是T||；

（3）图象法：利用图象变换画出函数图象观察其周期；

（4）定义法。

4. 三角函数最值的求法：

同角三角函数基本关系式，诱导公式及两角和差倍角公式如下类型求解：

（1）基本型yasinxbcosx化归为yAf(x)B

（2）一元二次函数型；

（3）单调型（利用函数单调性求解）

5.三角函数变换要抓住如下三个要点：

（1）变换前后的两个函数必须函数名相同、系数同正同负才能开始变换，否则先用诱导公式变形。这由教材ysinxyAsin(x),A0,0不难得出如上结论。

（2）在图象变换顺序上、周期与相位的变换要注意，每一次变换都是对x而言。如：

ysin2x右移ysin2(x66)sin(2x3)ysin(2x而不是 )6

（3）正难则反：正面难解，反面求之，往往出其不意，效果甚佳。

6. 三角函数奇偶性的判定方法：

（1）定义法：先求定义域，化简，判断。

（2）图象法。

7. 形如yAf(x)B的三角函数单调性的判定方法：

（1）复合函数法；

（2）若能化成A>0且ω>0可用还原法求解；

（3）图象法求解。

8. 型如yAf(x)B三角函数的对称中心、对称轴的求法（A>0，B≠0）

正弦型函数

正切型函数

名称

定义域

值域

周期性

yAsin(x)B

R yAtan(x)B

xkR 2,kZ

[BA,BA]

2

||||奇偶性

非奇非偶

xk函数为偶函数

2

2kx2k上kxk上是2222

是增函数

增函数

单调性

2kx32k上22是减函数

对

称

性

中

心

轴

xk

yBxk如图1 2kx2

yB

无

如图2

图象

y

A+B

3



222





B 2

O

x

-A+B

图1

y

3







2

2242

B 

3

5

4

4

4

x

O

图2 例5、

判断下列函数的奇偶性

①y=-3sin2x

②y=-2cos3x-1

③y=-3sin2x+1

④y=sinx+cosx ⑤y=1-cos(-3x-5π) 分析：根据函数的奇偶性的概念判断f(-x)=±f(x)是否成立；若成立，函数具有奇偶性（定义域关于原点对称）；若不成立，函数为非奇非偶函数

解：（过程略）①奇函数

②偶函数

③④非奇非偶函数

⑤偶函数例6、求函数y=-3cos(2x-21世纪教育网

1π)的最大值，并求此时角x的值。

312π=2 kπ+ π得x= kπ+π, (k∈Z) 33分析：求三角函数的最值时要注意系数的变化。

解：函数的最大值为：ymax=|-3|=3,此时由2x-例7、求函数y1的定义域。

1tanx1tanx0xkx1解：要使函数y有意义，则有1tanx即xk2(kZ)

4,且xk2,(kZ)

所以，函数的定义域为{χ︱χ∈R且xk

4,xk2,kZ}

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