探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学设计第一课时

1.5函数yAsin(x）的图象

石家庄市第四十二中学 卢伟

一、教学分析

本节通过图象变换,揭示参数、、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函数的图象与正弦曲线的关系,通过图象的变化过程,进一步理解正弦函数的性质,它是研究函yAsin(x）数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.

如何经过变换由正弦函数ysinx来获取函数yAsin(的图象呢?通过引导学生对函数x）ysinx到yAsin(x）的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数、、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系. 本节课充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数ysinx到yAsin(x）的图象变换规律,这也是本节课的重点所在. 二、教学目标：

1、知识与技能

借助计算机画出函数yAsin(x）

的图象，观察参数，，A对函数图象变化的影响；引导学生认识yAsin(x）

的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数yAsin(x）的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程.

2、过程与方法

通过引导学生对函数ysinx到yAsin(x）的图象变换规律的探索, 让学生体会研究问题时由简单到复杂, 从具体到一般的思路, 一个问题中涉及几个参数时，一般采取先“各个击破”后“归纳整合”的方法. 3、情感态度与价值观

经历对函数ysinx到yAsin(x）的图象变换规律的探索过程,体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想;培养学生分析问题，解决问题的能力. 三、教学重点、难点：

x）重点：将考察参数A、、对函数yAsin(图象的影响的问题进行分解，找出函数第

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ysinx到yAsin(x）的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数yAsin(x）的简图. 难点：（0）对ysin(x)的图象的影响规律的概括

四、教学设想：

函数yAsin(x）的图象（一）

（一）、导入新课

情境导入：在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如yAsin(x）的函数(其中A、、是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要研究这些函数的图象.展示课题: 函数yAsin(x）的图象.

（二）、推进新课、新知探究、提出问题

探究1：由学生分组作出取不同值时,函数ysin(x)的图象,并探究它与ysinx的图象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于对ysin(x)的图象影响的经验. 如果再变换的值,类似的情况将不断出现,这时对ysin(x)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于对ysin(x)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.

图1 引导学生通过小组的研究认识对ysin(x)的图象的影响,并概括出一般结论: ysin(x)

(其中≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时)或向右(当<0时)平行移动||个单位长度而得到.

探究2：教师指导学生独立列表作图、小组合作进行探究，归纳猜想一般规律。,教师作适当指导.注意第

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提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1) 以ysin(x的图象与ysin(x3)为参照,把ysin(2x3)3)的图象作比较,取点A、B观察发现规律:

图2 如图2,对于同一个y值,

ysin(2x3)的图象上点的横坐标总是等于ysin(x3)的图象上对应点的1倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的211基础上给出规律.(2)取=,让学生自己比较ysin(x)的图象与ysin(x))图象.教学中可以2332让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+的2倍(纵坐标不变),就得到ysin(3)图象上所有点的横坐标伸长到原来1x)的图象. 23

当取为其它值时,观察相应的函数图象与ysin(x3)的图象的关系,得出类似的结论.这时对ysin(x)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于对ysin(x)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳ysin(x)的图象与ysin(x)的图象之间的关系,得出结论: (x)的图象可以看作是把ysinx()的图象上所有点的横坐标缩短(当

函数ysin>1时)或伸长(当0<<1时)到原来的1倍(纵坐标不变)而得到.

图3

探究3：教师点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索、对图象的影响完全一致,鼓励学生独立第

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完成.学生观察y3sin(2x3))的图象和ysin(2x3)的图象之间的关系.如图3,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x值,函数y3sin(2x图象上点的纵坐标的3倍.这说明y3sin(2x3)的图象上的点的纵坐标等于函数ysin(2x3)的3)的图象,可以看作是把ysin(2x3)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:

函数yAsin(x）

(其中A>0,

>0)的图象,可以看作是把yAsin(x）上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

yAsin(x）由此我们得到了参数、、A对函数yAsin(x）

(其中A>0,

>0)的图象变化的影响情况. 一般地,函数yAsin(x）

(其中A>0,

>0)的图象,可以看作用下面的方法得到: 先画出函数ysinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移||个单位长度,得到函数ysin(x)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1倍,得到函数ysin(x)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数yAsin(x）的图象.

由此我们完成了参数、、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想. （三）、规律总结:

先平移后伸缩的步骤程序如下: 向左(0)或向右(0)得ysin(x)的图象

ysinx的图象平移||个单位长度(01)或缩短(1)横坐标伸长得ysin(x)的图象

1到原来(纵坐标不变)(A1)或缩短(0A1)纵坐标伸长得yAsin(x）的图象. 为原来的A倍(横坐标不变)（四）、应用示例

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（x-例：如何由ysinx的图象通过图象变换得到y2sin136）的简图.

活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法. 引导学生从图象变换的角度来探究,这里的＝6,＝1,A＝2,鼓励学生根据本节所学内容自己写3（x-出得到y2sin（x-到ysin136）)的图象的过程:只需把ysinx的曲线上所有点向右平行移动）（x-）的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到ysin6361（x-）的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y2sin的图36象,如图4所示. 个单位长度,得61

图4 （x-解:画出函数y2sin136）简图的方法为

ysinx右移个单位6ysin（x-）

61ysin（x-）

横坐标伸长到原来的3倍361y2sin（x-）

纵坐标伸长到原来的2倍36（六）、课堂小结

1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台. 2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出yAsin(x）的图象,并分别观察参数、、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想. （七）、作业

纵坐标不变横坐标不变第

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