2.3.1 变量之间的相关关系课堂实录

授课者：高德波

授课时间：2018年5月24日

课节：第一节

课程名称：变量间的相关关系

授课班级：一年八班

一、教学目标1、知识与技能：

利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及2回归方程系数公式的推导过程，利用电子表格求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测。2 、过程与方法：①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。 ②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性

3、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析预测的意识。利用计算机让学生动手操作，合作交流激发学生的学习兴趣。

二、教学重点、难点

重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。

教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解

教学实施过程中的难点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

三、教学设计（一）、创设情境

导入新课

1、相关关系的理解

我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？

探究:

在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？

随着年龄年23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 增长，脂龄

肪含量在脂9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 增加 肪

2、利用最小二乘法推导回归系数公式。 b(xx)(yy)xynxyiiiii12(xx)ii1nnni1n2xinxi121n1n（其中xxi，yyi） ni1ni1aybx

推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”最小的方

例1有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对销售热饮的影响,经过统计, 热饮杯数与当天气温的对比表。

得到一个卖出摄氏温度/℃

热饮杯数

-5 156 0 150 4 132 7 128 12 130 15 116 19 104 23 89 27 93 31 76 36 54

（1）画出散点图（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律（3）求回归方程

nx1xini1niin= y1yi= ni1nxy= xiii1n2i= i1bxynxyi1nxi12inx2 aybx= ˆbxa ：

y变式练习1：假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：

使用年限x 维修费用y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 ^5 6.5 6 7.0 若由资料知y对x呈线性相关关系．试求：(1)线性回归方程y＝bx＋a的回归系数a，b；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

（三）、归纳总结，内化知识

①先判断变量是否线性相关②若线性相关，利用公式计算出a、b③利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测

2、思想方法：数形结合、归纳、类比、最小二乘法

四）作业布置

1、创新应用：预测人口：我国是一个人口大国，估计人口数量及发展趋势是我们制定经济发展计划等一系列相关政策的基础，人口数量预测是一个复杂的问题，不仅是人口与时间两个变量之间

的关系，还与国家经济状况，科技发展，自然灾害和战争等其他因素有关。我们看下面的统计表1949至1994年人口数据资料如下

年份

人口/百万

年份

人口/百万

1949 541.67 1974 908.59 1954 602.66 1979 975.42 1959 672.09 1984 1034.75 1964 704.99 1989 1106.76 1969 806.71 1994 1176.74 试估计我国2010年的人口数。

探究:

在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？

年23 龄

27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 肪

生：随着年龄增长，脂肪含量在增加 师：有没有更直观的方式？生：画图 脂肪含量40

353025201510500510152025303540年龄4550556065师：这个图跟我们所学过的函数图象有散区别，它叫作散点图。

2、利用最小二乘法推导回归系数公式。 nnb(xx)(yy)xynxyiiiii1(xx)ii1n2i1nxi12inx21n1n（其中xxi，yyi） ni1ni1aybx推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”最小的方法叫

“最小二乘法”。

n1n1nxxi=

yyi=

ni1ni1n2ixyii1i=

xi1=

bxynxyiii1nnxi12inx2

aybx=

ˆbxa

：

y（二）、线性回归分析思想在实际中的应用

例1有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对销售热饮的影响,经过统计,

摄氏温度/℃

热饮杯数

-5 156 0 150 4 132 7 128 12 130 15 116 19 104 23 89 27 93 31 76 36 54 得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表,

（1）画出散点图

（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律

（3）求回归方程

（4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数

nx1xini1niin= y1yi= ni1nxy= xiii1n2i= i1bxynxyi1nxi12inx2 aybx= ˆbxa y相关系数r(xx)(yy)iii1n

2(xx)(yy)2iii1j1nn注意它的符号：当r0时，x，y正相关，当r0时，x，y负相关，统计学认为：

对于r，若r1,0.75，那么负相关很强，若r0.75,1，那么正相关很强， 若r0.75,0.30或r0.30,0.75，那么相关性一般， 若r0.25,0.25，那么相关性较弱，：使学生体会：相关系数的绝对值越大，用线性回归模型拟合样本数据的效果就越好

（三）、归纳总结，内化知识

①先判断变量是否线性相关②若线性相关，利用公式计算出a、b

③利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测

2、思想方法：数形结合、归纳、类比、最小二乘法

（四）作业布置

1、创新应用：预测人口：我国是一个人口大国，估计人口数量及发展趋势是我们制定经济发展计划等一系列相关政策的基础，人口数量预测是一个复杂的问题，不仅是人口与时间两个变量之间

的关系，还与国家经济状况，科技发展，自然灾害和战争等其他因素有关。我们看下面的统计表1949至1994年人口数据资料如下

年份

人口/百万

年份

人口/百万

1949 541.67 1974 908.59 1954 602.66 1979 975.42 1959 672.09 1984 1034.75 1964 704.99 1989 1106.76 1969 806.71 1994 1176.74 试估计我国2010年的人口数。