2.1.3 相等向量与共线向量教案教学设计导入整理

相等向量与共线向量

向量的物理背景及概念

[导入新知] 向量和数量

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫作向量．

(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．

[化解疑难] 理解向量的概念应关注三点

(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．

(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个要素．

(3)向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．

向量的几何表示

[导入新知] 1．有向线段

(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它→的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.

(2)有向线段包含三个要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定．

2．向量的表示

(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．

→→(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时用a，b，→→→c，…表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如AB，CD. [化解疑难] 向量与有向线段的区别和联系

(1)区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度

三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的．

(2)联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．

向量的有关概念

[导入新知] 1．向量的模及两个特殊向量

(1)向量的长度(模)：

→→→向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或模)，记作|AB|. (2)两个特殊向量：

①零向量：长度为0的向量叫作零向量，记作0，零向量的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来．

②单位向量：长度等于1个单位的向量，叫作单位向量．

2．相等向量与共线向量

(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．因为向量完全是由它的方向和模确定的．

(2)平行向量：

①定义：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a，都有0∥a. ③共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫作共线向量．

[化解疑难] 平行(共线)向量的含义

(1)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称．根据定义可知，平行(共线)向量所在的直线可以平行，也可以重合．

(2)共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的“共线”含义不同．

(3)平行向量可以在同一条直线上，与平面几何中“直线平行”不同，平面中两直线平行是指两直线没有公共点．

向量的有关概念

[例1]

下列说法正确的是(

)

→→A．向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上

B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

→→C．向量AB与向量BA是两平行向量

D．单位向量都相等

[答案]

C [类题通法] 解决与向量概念有关问题的方法

解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．

[活学活用] 下列说法正确的序号有________．

→→①若向量a＝AB，b＝BA，则|a|＝|b|；

②若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；

→→③若向量AB是单位向量，则BA也是单位向量；

④以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．

答案：①③④

向量的表示

[例2]

(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．

[答案]

12 (2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

→→①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；

→→②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；

→→③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°. [解]

①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与→纵向小方格数相等．又因为|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数→与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．

→②由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格→数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．

→③由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距→点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．

[类题通法] 用有向线段表示向量的方法

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．

[活学活用] 已知汽车从A地按北偏东30°的方向行驶200 km到达B地，再从B地按南偏东30°的→→方向行驶200 km 到达C地，再从C地按西南方向行驶100 km到达D地，作出向量AB，BC，→CD(用1 cm表示100 km)．

→→→解：向量AB，BC，CD如图．

共线向量或相等向量

[例3]

如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．

→(1)找出与向量AB共线的向量；

→(2)找出与向量AB相等的向量．

→→→→→→→→→[解]

(1)依据图形可知DC，ED，EC与AB方向相同，BA，CD，DE，CE与AB方向相反，→→→→→→→→所以与向量AB共线的向量为BA，CD，DC，ED，DE，EC，CE. →→→(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知DC，ED与AB长度相等且方向相同，所→→→以与向量AB相等的向量为DC和ED. [类题通法] 寻找共线向量或相等向量的方法

(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．

[活学活用] 1如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC3a的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则

3

→(1)与向量GH相等的向量有________；

→(2)与向量GH共线，且模相等的向量有________；

→(3)与向量EA共线，且模相等的向量有________．

→→→→→→→→→→→→答案：(1) LB′，HC

(2)EC′，LE，LB′，GB，HC

(3)EF，FB，HA′，HK，KB′

7．混淆向量的模与绝对值

[典例]

给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，正确的命题有(

) A．0个

C.2个

B．1个

D．3个

[解析]

①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a，c可以为任意向量，故a不一定平行于c. [答案]

A [易错防范] (1)本题若将向量的模错误地理解为绝对值，则会认为①②③都正确，从而误选D. (2)判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．而对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．

[成功破障] 有下列说法：

①若a≠b，则a一定不与b共线；

→→②若AB＝DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

→→③在▱ABCD中，一定有AD＝BC；

④若a＝b，b＝c，则a＝c；

⑤共线向量是在一条直线上的向量．

其中，正确说法的序号是________．

答案：③④