小结精品学案

《平面向量的数量积及其应用》教学设计

连平县忠信中学

吴

浩

《平面向量的数量积及其应用》教学设计

连平县忠信中学

吴

浩

考纲要求:掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂直问题,掌

握向量垂直的条件. 高考预测:(1)客观题---- 考查数量积的定义、性质及运算律,难度较低.

(2)主观题---以平面向量的数量积为工具,考查其综合应用,多与函数、三角函数、不等式联系,难度中等. 教学目标：

(i)知识目标: （1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.

（2）平面向量数量积的应用. (ii)能力目标:

(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力.

(2) 正确运用向量运算律进行推理、运算. 教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义. 2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教

具：多媒体. 教学方案及其设计意图：

平面向量的数量积，是解决垂直、求夹角和线段长度问题的关键知识。在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念：ababcos，ab是记法，abcos是定义的实质――它是一个实数。按照推理，当0数量积为负。

2时，数量积为正数；当2时，数量积为零；当2时，1

《平面向量的数量积及其应用》教学设计

连平县忠信中学

吴

浩

向量数量积的几何意义实质上是将乘积拆成两部分：a和bcos，bcos是向量b在a的方向上的投影。

在数量积的有关概念之后给出

►两个易错点：平面向量的夹角；数量积的几何意义. →·BC→＝________. (1)

在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则ABπ

(2)已知a＝(3，4)，b＝(1，－3)，若a与b的夹角为3，则a在b方向上的投影为________. 围绕向量的数量积的定义，可开发出解决几何问题中有用的知识：垂直的判断，夹角的计算和线段长度的计算。根据教学实际，有的数学知识可提出问题让学生解决，并总结、概括出一般的结论或规律，但有些知识学生听讲时，理解起来都比较困难，就需要老师的讲解，此时恰当的处理方式是：先让学生学会，再说明道理。这里，两个向量垂直的判断和夹角的计算，可通过让学生自己做题后总结出来；而计算模则需要老师讲解并加以强化：由ababcos，当b =

a时，a2aaaacos0aaa2.接着演示例题（讲练结合）。

数量积运算的突破方法

向量数量积的三种计算方法

(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解. (3)利用数量积的几何意义.

【例1】

(1)(2016·豫晋冀三省二调)已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且

a＋b与a共线，那么a·b的值为(

) A.1

B.2

C.3

D.4 2 2

《平面向量的数量积及其应用》教学设计

连平县忠信中学

吴

浩

(2)(2015·宁夏银川一中三模)已知正三角形ABC的边长是3，D是BC上的点，→·BC→＝________. BD＝1，则AD93155A.－2

B.－2

C.2

D.2

数量积的应用解题方略

数量积应用的重点类型及解法

重点类型

解决方法

求模的公式：①定义法：|a|＝a2；②坐标公式：|a|＝求向量的模

x2＋y2，除以上两个公式外，还可运用数量积的计算公式列方程求解. (1)向量夹角的范围：[0，π].

求向量的夹角

利用向量垂直的充要条件求参数

a·b(2)向量夹角的计算公式：cos θ＝|a||b|. (1)两向量垂直的充要条件是a·b＝0. (2)利用(1)中的条件可以构造方程(组)，解之可求其中的参数值. (1)|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影. 求向量的投影

(2)求向量的投影的取值范围或最值，一般转化为三角函数求最值，或利用基本不等式求最值.

【例2】

(1)(2016·湖南常德市津市一中月考)已知向量m＝(λ＋1，1)，

n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(

) A.－4

B.－3

C.－2

D.－1 (2)(2016·辽宁大连模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为(

) 3

《平面向量的数量积及其应用》教学设计

连平县忠信中学

吴

浩

ππ5π2πA.6

B.3

C.6

D.3

用向量方法解决平面几何问题解题策略

平面几何问题中的向量方法

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.

→＋AC→|＝|AB→－AC→|，AB＝2，AC【例3】

(2016·山东临沂质检)在△ABC中，|AB→·AF→＝(

) ＝1，E，F为BC的三等分点，则AE8102526A.9

B.9

C.9

D.9

[点评] 用向量方法解决平面几何问题可分三步：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

小结以问题的形式，来反馈一节课的重点是否突出，难点是否突破。

问题一：关于向量的数量积的概念包括哪些主要内容？

4

《平面向量的数量积及其应用》教学设计

连平县忠信中学

吴

浩

问题二：说出向量数量积的几何意义及运算律。

问题三：用向量的数量积可解决几何中的哪三大问题？如何解决？



数量积的概念包括：两个非零向量的夹角的定义和范围、数量积的定义。



向量数量积的几何意义是：a



b是向量a的模与向量b在向量a方向上的投影的乘积；运算律有三条：……。



用向量的数量积可解决几何中三大问题：垂直的判断、夹角的计算和求线段长度。⑴abab0；

⑵cos

本节课的设计注重教学目标的明确；注重根据学生的认知规律而科学地进行知识序列的呈现；注重调动学生参与教学活动；注重课堂效果的实效性。

ab；

⑶aa2。

ab5