2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示主要内容及教案内容

高质量函数习题（一）

一．选择题

1．已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)f(x4)，则x2时，f(x)单调递增，若x1x24，且(x12)(x22)0，则f(x1)f(x2)与0的大小关系是（

）

A．f(x1)f(x2)0

C．f(x1)f(x2)0

B．f(x1)f(x2)0

D．f(x1)f(x2)0

2.

将函数y3sin(x)的图象F按向量(直线xA. 3,3)平移得到图象F,若F的一条对称轴是4,则的一个可能取值是（ ）

551111 B.  C.  D. 

121212123．函数f(x)tanwx(w0)的图象的相邻两支截直线y的值是（

）

A．1

4所得线段长为，则f()

44B．1

C．0

D．

4（

）

4．已知函数f（

x）

=lg（

x2-ax+9）

的值域为R，则实数a的取值范围是

A．（

-6, 6）

B．[-6, 6] C．（

-∞,-6）

∪（

6，+∞）

D．（

-∞，-6] ∪[6, +∞)

5.在同一平面直角坐标系中，函数yg(x)的图象与yex的图象关于直线yx对称。而函数yf(x)的图象与yg(x)的图象关于y轴对称，若f(m)1，则m的值是 （ ）

A．e

1 B． e

C．e

1D． e6.设a1，若对于任意的x[a,2a]，都有y[a,a2]满足方程logaxlogay3，这时a的取值集合为 ( ) （A）{a|1a2} （B）{a|a2}

（C）{a|2a3} （D）{2,3}

7．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为件是（

）

开始i=1,sum=0

否是1

10，则判断框中应填入的条11结束i=i+1

输出sumsum=sum+1/[i×(i+1)]?

A．i9

B．i10

C．i11

D．i11

8．无论m取任何实数值，方程x23x2mx(A)1个 (B)2个 (C)2个或者3个 9．函数y22log2x3的实根个数是( ) 2

(D)不能确定

的图像大致是( ) (A) (B) (C) (D) 10．设奇函数f(x)在(0，且f(1)0，则不等式)上为增函数，的解集为（ ）

A．(1，0)(1，)

B．(，1)(0，1)

D．(1，0)(01)，

f(x)f(x)0xC．(，1)(1，)

D．由奇函数f(x)可知f(x)f(x)2f(x)0，而f)则f(11(0，))1(0fxx，当x0时，f(x)0f(1)；当x0时，f(x)0f(1)，又f(x)在(0，)上为增函数，则奇函数f(x)在(,0)上为增函数，0x1,或1x0. 二．填空题

11．已知fx满足f(pq)f(p)f(q)，f13，

f2(1)f(2)f2(2)f(4)f2(3)f(6)f2(4)f(8)

．

则f(1)f(3)f(5)f(7)12. 已知函数ylogax31(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny

10上，其中mn0，则12的最小值为 mn13. 已知函数fx是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足fx21，

fx若当2x3时，fxx，则f(2007.5)= ．

14．若不等式x33xy2a(xy)对一切正数x,y恒成立，则正数a的最小值为

.

2

2x4x(x0)215．已知函数f(x)，若f(2a)f(a)，则实数a的取值范围24xx(x0)是

.

16．函数f(x)loga(x1)(a0且a1)的定义域和值域都是[0,1]，则a

.

17．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x1)f(x)3，x[0,1]时，

f(x)2x，则f(2005.5)等于

. 18.设函数yf(x)存在反函数yf1(x),且函数yxf(x)的图象过点(1,2), 则函数yf1(x)x的图象一定过点 . 三．解答题

19．对于在[m，n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x[m，n]，均有f(x)g(x)≤1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则称f(x)与g(x)在［m，n］上是非接近的．两个函数f1(x)loga(x3a)与f2(x)loga给定区间[a2，a3]．

（1）若f1(x)与f2(x)在给定区间[a2，a3]上都有意义，求a的取值范围；

（2）讨论f1(x)与f2(x)在给定区间[a2，a3]上是否是接近的．

x20.已知函数f(x)a1（a＞0，且a1），xax2(a1)，

x1求证：（1）函数f(x)在(1,)上为增函数；

（2）方程f(x)0没有负数根

21.

设二次函数f(x)x2bxc(b,cR)，已知不论α，β为何实数，恒有f(sin)0和f(2cos)0.

（1）求证：bc1;

（2）求证：c3;

（3）若函数f(sin)的最大值为8，求b，c的值

22.对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个不动点，已知函数f(x)ax(b1)x(b1)(a0)，

23

（1）当a1,b2时，求函数f(x)的不动点；

（2）对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若yf(x)的图象上A,B两点的横坐标是f(x)的不动点，且A,B两点关于直线ykx12a12对称，求b的最小值

223．设函数f(x)axbxc,且f(1)a,3a2c2b,求证：

2

（1）a0且3b3；

a4

（2）函数f(x)在区间（0，2）内至少有一个零点；

（3）设x1,x2是函数f(x)的两个零点，则2|x1x2|57.

424．设函数f(x)在(,)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)f(3)0．

（1）试判断函数yf(x)的奇偶性；

（2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

4

答案与提示

一．C A C D B B D B C D

二．11．24； 12. 8； 13.-2∕5； 14.2； 15.-2

∴，故有0a1；

a2a0，

（2）由f1(x)f2(x)loga(x24ax3a2)≤1，得

1≤loga(x24ax3a2)≤1．（※）

∵0a1，x24ax3a2(x2a)2a2，又[a2，a3]在x2a的右侧，

∴g(x)loga(x24ax3a2)在[a2，a3]上为减函数.

从而g(x)maxg(a2)loga(44a)，

g(x)ming(a3)loga(96a)

于是（※）式成立的充要条件是

，loga(44a)≤1957，

解得

0a≤．

loga(96a)≥1120a1，故当0a≤957时，f1(x)与f2(x)在[a2，a3]上是接近的；当12957a1时，f1(x)与f2(x)在[a2，a3]上是非接近的．

1220.

证明：（1）设1x1x2，

则f(x1)f(x2)ax1x12x2

ax22x11x21ax1ax2x12x223(x1x2)，

ax1ax2x11x21(x11)(x21)∵1x1x2，∴x110，x210，x1x20，

5

∴3(x1x2)0；

(x11)(x21)∵1x1x2，且a1，∴ax1ax2，∴ax1ax20，

∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，

（2）假设x0是方程f(x)0的负数根，且x01，则ax02x03(x01)31， ①

x01x01x01333,∴12, x01x01x020，

x01

即ax0当1x00时,0x011,∴而由a1知ax01 ∴①式不成立；

当x01时，x010，∴∴①式不成立

330，∴11，而ax00

x01x01综上所述，方程f(x)0没有负数根

21.

解：（1）由f(x)x2bxc(b,cR)产生b+c，只要消除差异x，这可令x1.

1sin1且f(sin)0恒成立,f(1)0.

12cos3且f(2cos)0恒成立,f(1)0.

从而知f(1)0.1bc0.即bc1.

（2）由12cos3且f(2cos)0恒成立,f(3)0.

即

93bc0，∴93(bc)2c0

又因为bc1.c3.

（3）f(sin)sin2(1c)sinc(sin1c)2c(1c)2,

22 当sin1时,[f(sin)]max8.

1bc8,

由 解得 b4,c3.

1bc0.6

22.

解：（1）f(x)x2x3，x0是f(x)的不动点，

则f(x)x0x03x0，得x01或x03，

函数f(x)的不动点为1和3

2（2）∵函数f(x)恒有两个相异的不动点，

∴f(x)xax2bx(b1)0恒有两个不等的实根，

b24a(b1)b24ab4a0对bR恒成立，

∴(4a)216a0，得a的取值范围为(0,1)

（3）由ax2bx(b1)0得由题知k1，yx12x1x2b，

22a2a1，

bb1,2)，

2a2a2a1设A,B中点为E，则E的横坐标为(∴bb12，

2a2a2a1∴ba2a2112a1a2，

4当且仅当2a12(0a1)，即a时等号成立，

a2∴b的最小值为

24

23．证明：（1）f(1)abca

3a2b2c0

2又3a2c2b

3a0,2b0

a0,b0

又2c=－3a－2b

由3a＞2c＞2b

∴3a＞－3a－2b＞2b ∵a＞0

3b3

a4a0

2（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a－c

①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且f(1)∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点

7

②当c≤0时，∵a＞0

f(1)a0且f(2)ac0

2∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点. 综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点

（3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点

则x1,x2是方程axbxc0的两根

∴x1x22bc3b,x1x2

aa2ab3bb|x1x2|(x1x2)24x1x2()24()(2)22

a2aa3b357

2|x1x2|

a4424．解（:1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数yf(x)的对称轴为x2和x7, 从而知函数yf(x)不是奇函数, f(2x)f(2x)f(x)f(4x)由f(4x)f(14x)

f(7x)f(7x)f(x)f(14x)f(x)f(x10),从而知函数yf(x)的周期为T10

又f(3)f(0)0,而f(7)0,故函数yf(x)是非奇非偶函数; (2)由f(2x)f(2x)f(x)f(4x)f(4x)f(14x)f(7x)f(7x)f(x)f(14x)f(x)f(x10)

又f(3)f(0)0,f(11)f(13)f(7)f(9)0

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数yf(x)在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数yf(x)在[-2005,2005]上有802个解.

8