探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学设计实例

第三节

三角函数的图象与性质

[备考方向要明了]

考

什

么

1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．

2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴ππ－，内的交点等)，理解正切函数在区间22的单调性.

[归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数

y＝sin x y＝cos x y＝tan x

怎

么

考

1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性．如2012年新课标全国T9等．

2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题．如2012年湖南T6等．

3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如2012年北京T15等. 图象

定义域

R

R

πxx≠＋kπ，2

k∈Z} 值域

[－1,1]

递增区间：[－1,1]

递增区间：[2kπ－π，2kπ]

(k∈Z) R

单调性

2kπ－π，2kπ＋π(k∈Z) 22递减区间：递增区间：kπ－π，kπ＋π(k∈22递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) Z) 2kπ＋π，2kπ＋3π(k∈Z) 22

πx＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1

2x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1

最

值

πx＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝2－1 奇偶性

奇函数

x＝2kπ＋π(k∈Z) 时，ymin＝－1 偶函数

πkπ＋，0，k对称中心2∈Z

π对称轴l x＝kπ＋，k∈Z

2周期

[探究]

1.正切函数y＝tan x在定义域内是增函数吗？

ππkπ－，kπ＋(k∈Z)上都是增函数，但提示：不是．正切函数y＝tan x在每一个区间22在定义域内不是单调函数，故不是增函数．

2．当函数y＝Asin(ωx＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y＝Acos(ωx＋φ)呢？

π提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函2π数；函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时是奇函数．

2[自测·牛刀小试] π2x－，x∈R，则f(x)是(

) 1．(教材习题改编)设函数f(x)＝sin2A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

πC．最小正周期为的奇函数

2πD．最小正周期为的偶函数

2π解析：选B

∵f(x)＝sin(2x－)＝－cos 2x，

2∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．

2．(教材习题改编)函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是(

) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数

ππππ－，上是增函数，在－π，－和，π上都是减函数

B．在22222π

对称轴l x＝kπ，k∈Z

2π

奇函数

kπ对称中心2，0(k∈Z) 无对称轴

π

无最值

对称中心(kπ，0)，k∈Z

对称性

C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数

ππππ，π∪－π，－上是增函数，在－，上是减函数

D．在2222ππ－，上是增函数，解析：选B

由函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的图象可知，该函数在22ππ－π，－和，π上是减函数．

在223．函数y＝

ππ－，

A.33ππkπ－，kπ＋，k∈Z

B.33ππ2kπ－，2kπ＋，k∈Z

C.33D．R

11ππ解析：选C

∵cosx－≥0，得cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. 2233xπ4．(教材习题改编)函数f(x)＝3sin2－4，x∈R的最小正周期为________．

xπ解析：函数f(x)＝3sin2－4的最小正周期为

2πT＝＝4π.

12答案：4π

πx＋的最大值为________，此时x＝________. 5．函数y＝3－2cos4ππ3πx＋的最大值为3＋2＝5，解析：函数y＝3－2cos此时x＋＝π＋2kπ，即x＝＋2kπ(k444∈Z)．

答案：5

[例1]

(1)求函数y＝lg(2sin x－1)＋1－2cos x的定义域；

(2)求函数y＝2cos2x＋5sin x－4的值域．

三角函数的定义域和值域

3π＋2kπ(k∈Z) 41cos x－的定义域为(

) 2

[自主解答]

(1)要使函数有意义，必须有

2sin x－1>0，1－2cos x≥0，

sin x>2，即1cos x≤，21

解得π5π＋2kπ≤x≤＋2kπ，33π5π＋2kπ

(k∈Z)，

π5π即＋2kπ≤x＜＋2kπ(k∈Z)．

36π5π＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)．

故所求函数的定义域为63(2)y＝2cos2x＋5sin x－4 ＝2(1－sin2x)＋5sin x－4 ＝－2sin2x＋5sin x－2 59＝－2(sin x－)2＋. 48故当sin x＝1时，ymax＝1，

当sin x＝－1时，ymin＝－9，

故y＝2cos2x＋5sin x－4的值域为[－9,1]．

———————————————————

1．三角函数定义域的求法

求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

2．三角函数值域的求法

求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

1．(1)求函数y＝2＋log1x＋tan x的定义域；

2ππ－x满足f－＝f(0)，求函数f(x)在(2)设a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos223π，11π上的最大值和最小值．

424

解：(1)要使函数有意义

x＞0，则tan x≥0，πx≠kπ＋2k∈Z，22＋log1x≥0，

0＜x≤4，即

πkπ≤x＜kπ＋k∈Z.2

利用数轴可得：

π所以函数的定义域是x|0＜x＜2或π≤x≤4. π(2)f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos22－x

a＝asin xcos x－cos2x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x. 2π－＝f(0)，

由于f32πa2π－＝－1，

所以·sin－3－cos32即－31a＋＝－1，得a＝23. 42π2x－. 于是f(x)＝3sin 2x－cos 2x＝2sin6π11πππ3π，由于x∈，所以2x－∈，，

424634ππππ因此当2x－＝即x＝时f(x)取得最大值f3＝2，

62311ππ3π11π当2x－＝即x＝时f(x)取得最小值f24＝2. 6424

[例2]

求下列函数的单调递减区间：

ππx－；(2)y＝tan－2x. (1)y＝2sin43ππ3π[自主解答]

(1)由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，

2423π7π得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. 44πx－的单调减区间为

故函数y＝2sin4三角函数的单调性

2kπ＋3π，2kπ＋7π(k∈Z)．

44ππ－2x变为y＝－tan2x－. (2)把函数y＝tan33πππ由kπ－<2x－

232π5π得kπ－<2x

66kππkπ5π即－

故函数y＝tan3kπ－π，kπ＋5π(k∈Z)．

212212

x－π”，如何求解？

若将本例(1)改为“y＝2sin4x－π的图象，kπ＋3π，kπ＋5π(k∈Z)．解：画出函数y＝2sin易知其单调递减区间为

444

———————————————————

1．三角函数单调区间的求法

求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω＞0)”视为一个“整体”；

②A＞0(A＜0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调区间对应π的不等式方向相同(反)．对于y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)，其周期T＝，单调区间|ω|ππkπ－，kπ＋，解出x的取值范围，即为其单调区间．

利用ωx＋φ∈222．复合函数单调区间的求法

对于复合函数y＝f(v)，v＝φ(x)，其单调性判定方法是：若y＝f(v)和v＝φ(x)同为增(减)函数时，y＝f(φ(x))为增函数；若y＝f(v)和v＝φ(x)一增一减时，y＝f(φ(x))为减函数．

3．含绝对值的三角函数单调区间的求法

求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．

πππ0，上单调递增，在区间，上单调递减，则2．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间332ω等于(

) A．3

B．2

3C.

22D.

3解析：选C

∵y＝sin ωx(ω＞0)过原点，

ππ∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时．

22ωy＝sin ωx是增函数；

π3ππ3π当≤ωx≤，即≤x≤时，

222ω2ωy＝sin ωx是减函数．

π0，上单调递增，

由y＝sin ωx(ω＞0)在3ππππ3，上单调递减知，＝，故ω＝. 在322ω32

πx－的图象的一条对称轴是(

) [例3]

(1)(2012·福建高考)函数f(x)＝sin4πA．x＝

4πC．x＝－

4πB．x＝

2πD．x＝－

2三角函数的周期性、奇偶性与对称性

π5π(2)(2012·新课标全国卷)已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图44象的两条相邻的对称轴，则

φ＝(

) πA.

4πC.

2(3)(2012·大纲全国卷)若函数f(x)＝sin πA.

23πC.

2[自主解答]

(1)法一：(图象特征) ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，

ππ3ππ故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z.取k＝－1，则x＝－. 4244法二：(验证法) πB.

33πD.

4x＋φ(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(

) 32πB.

35πD.

3

ππππππ2－＝0，不合题意，排除A；x＝时，y＝sin－＝，不合题意，x＝时，y＝sin4424242ππππ－π－π－－＝－1，排除B；x＝－时，y＝sin符合题意，C项正确；而x＝－时，y＝sin442442＝－2，不合题意，故D项也不正确．

2π5π(2)由于直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数44ππf(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)．

42π又0<φ<π，所以φ＝. 4(3)若f(x)为偶函数，则f(0)＝±1，

φφπ即sin ＝±1，∴＝kπ＋(k∈Z)．

3323π∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．只有C项符合．

2[答案]

(1)C

(2)A

(3)C

本例(1)中函数f(x)的对称中心是什么？

ππ提示：令x－＝kπ，k∈Z，则x＝＋kπ，k∈Z. 44ππx－的对称中心为＋kπ，0(k∈Z)．

故函数f(x)＝sin44

———————————————————

函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性及对称性

(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值．

若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0. 2对于函数y＝Asinωx＋φ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点x0，0是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验fx0的值进行判断.

ππ|φ|＜的一条对称轴为x＝，则φ＝________. 3．(1)函数y＝2sin(3x＋φ)212(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________. πππ解析：(1)由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，即3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ2122

π＋(k∈Z)．

4ππ又|φ|＜，所以k＝0，故φ＝. 24π(2)由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故φ＝kπ＋，(k∈Z)．

2ππ答案：(1)

(2)kπ＋，k∈Z

42

2个性质——周期性与奇偶性

(1)周期性

函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为π为. |ω|(2)奇偶性

三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．

3种方法——求三角函数值域(或最值)的方法

(1)利用sin x、cos x的有界性；

(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

4个注意点——研究三角函数性质应注意的问题

(1)三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图象．

(2)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．

(3)利用换元法求复合函数的单调性时，要注意x系数的正负．

(4)利用换元法求三角函数最值时要注意三角函数的有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.

创新交汇——与三角函数性质有关的交汇问题

1．高考对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择2π，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期|ω|

题的形式出现，往往结合集合、数列、函数与导数等考查三角函数的相关性质；解答题主要与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题．

2．解决此类交汇问题的关键有以下两点：

(1)熟记三角函数的性质，主要为定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等及有关结论．

(2)要善于利用函数图象的形象性和直观性分析解决问题．

π2πnπ[典例]

(2012·上海高考)若Sn＝sin＋sin＋…＋sin(n∈N*)，则在S1，S2，…，S100777中，正数的个数是(

) A．16

C．86

B．72 D．100 πx[解析]

∵函数f(x)＝sin的最小正周期为T＝14，

7π26781314又sin＞0，sinπ＞0，…，sinπ＞0，sinπ＝0，sinπ＜0，…，sinπ＜0，sinπ＝0，

7777777∴在S1，S2，S3，…，S13，S14中，只有S13＝S14＝0，其余均大于0. 由周期性可知，在S1，S2，…，S100中共有14个0，其余都大于0，即共有86个正数．

[答案]

C [名师点评]

1．本题具有以下创新点

πx(1)本题表面是考查数列求和问题，其实质考查了三角函数f(x)＝sin的周期性．

7(2)本题巧妙将三角函数值的符号、三角函数的诱导公式、三角函数的周期性及数列求和融为一体，考查了考生的数据处理能力、推理论证能力及转化与化归能力，难度较大．

2．解决本题的关键有以下两点

πx(1)正确构造函数f(x)＝sin，并求得其周期；

7(2)正确利用诱导公式求出一个周期内S1，S2，…，S14中是0的个数．

[变式训练]

ππ1x＋cos－x与直线y＝相交，1．(2013·郑州模拟)已知曲线y＝2sin若在y轴右侧的442交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则|PP15|等于(

) A．π

C．3π

B．2π

D．4π

ππππx＋cos－x＝2sin2x＋＝1－cos 2x＋＝1＋sin 2x，解析：选B

注意到y＝2sin4444

2π又函数y＝1＋sin 2x的最小正周期是＝π，结合函数y＝1＋sin 2x的图象(如图所示)可知，2|PP|＝2π.

15

2．若三角函数f(x)的部分图象如图，则函数f(x)的解析式，以及S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)的值分别为(

)

1πxA．f(x)＝sin＋1，S＝2 012 221πxB．f(x)＝cos＋1，S＝2 012 221πxC．f(x)＝sin＋1，S＝2 012.5 221πxD．f(x)＝cos＋1，S＝2 012.5 222π解析：选A

根据已知图象，可设f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω＞0，A＞0)．∵由T＝4得ωfx最大值－fx最小值1.5－0.51π＝4，∴ω＝.A＝＝＝，

22221又f(0)＝sin φ＋1＝1，

21πx∴sin φ＝0得，φ＝0，∴f(x)＝sin＋1. 22又f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1.5＋1＋0.5＋1＝4，

∴S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝503×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝503×4＝2 012.

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) a＋b1．函数f(x)＝sin x在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cos＝(

) 2A．0

B.2

2

C．－1

D．1 a＋bππ解析：选D

不妨设a＝－，b＝，则cos＝cos 0＝1. 2223π2x＋

2．(2013·银川模拟)已知函数f(x)＝sin2(x∈R)，下面结论错误的是(

) A．函数f(x)的最小正周期为π

B．函数f(x)是偶函数

πC．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

4π0，上是增函数

D．函数f(x)在区间23π2x＋＝－cos 2x，故其最小正周期为π，故A正确；易知函数解析：选C

f(x)＝sin2πf(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象关于直线x＝不4π0，上是增函数，D正确．

对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在2πω＞0，|φ|＜，且其图象3．(2013·郑州模拟)设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)－3sin(ωx＋φ)2π相邻的两条对称轴为x＝0，x＝，则(

) 2π0，上为增函数

A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在2π0，上为减函数

B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在2C．y＝f(x)的最小正周期为π，且在(0，π)上为增函数

D．y＝f(x)的最小正周期为π，且在(0，π)上为减函数

πTπωx＋φ＋，＝，得T＝π，ω＝2.又x＝0是对称解析：选B

由已知可得f(x)＝2cos322πππ0，π上为减函数．

φ＋＝±轴，故cos1，由|φ|＜得φ＝－，此时f(x)＝2cos 2x在32231－1，，则b－a的值不可能是(

) 4．已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为2πA.

3C．π

2πB.

34πD.

32π4π解析：选A

画出函数y＝sin x的草图分析知b－a的取值范围为3，3.

π5．(2013·衡阳联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称，则下列3四个函数中，同时具有性质①②的是(

) xπA．y＝sin2＋6

π2x＋

C．y＝sin6π2x－

B．y＝sin6D．y＝sin|x| π2ππ2x－的最小正周期T＝＝π，当x＝时，y＝解析：选B

注意到函数y＝sin623ππ2×－＝1，因此该函数同时具有性质①②. sin36ππωx＋在，π上单调递减，则ω6．(2012·新课标全国卷)已知ω＞0，函数f(x)＝sin42的取值范围是(

) 15A.2，4

10，

C.213B.2，4

D．(0,2] 5π58kπ＋π，8kπ＋π，π，πx＋，解析：选A

取ω＝，f(x)＝sin其减区间为k∈Z，显然55445248π8πkπ＋，kπ＋π，k∈Z，排除B，C.取ω＝2，f(x)＝sin2x＋，其减区间为⊆5545kπ＋π，kπ＋5π，k∈Z，显然π，π

kπ＋π，kπ＋5π，k∈Z，排除D. 88882二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 17．函数y＝的定义域为________．

tan x－3πx≠kπ＋2，x≠kπ＋2，k∈Z，解析：由已知得即πx≠kπ＋，tan x≠3，3

π

k∈Z. ππx≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z. 故所求函数定义域为x23ππx≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z

答案：x23

ππ2x＋－1，x∈0，的值域为________，并且取最大值时x的值为8．函数y＝2sin33

________．

πππ解析：∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π，

333π2x＋≤1，

∴0≤sin3πππ2x＋－1≤1，即值域为[－1,1]，且当sin2x＋＝1，即x＝时，y取最∴－1≤2sin3312大值．

答案：[－1,1]

π

12πωx＋(ω＞0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之9．已知函数f(x)＝cos6π差为，则函数在[0,2π]上的零点个数为________．

2πωx＋的周期为π，

解析：∵由已知f(x)＝cos6π2π2x＋. ∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝cos6ωππkππ当f(x)＝0时，2x＋＝kπ＋(k∈Z)，x＝＋，则当x∈[0,2π]时f(x)有4个零点．

6226答案：4 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) πωx－＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻10．(2012·陕西高考)函数f(x)＝Asin6π两条对称轴之间的距离为. 2(1)求函数f(x)的解析式；

πα0，，f＝2，求α的值．

(2)设α∈22解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2. π∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，

2∴最小正周期T＝π，

∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为

π2x－＋1. y＝2sin6αα－π＋1＝2，

(2)∵f＝2sin26π1α－＝. ∴sin62

ππππ∵0<α<，∴－<α－<，

2663πππ∴α－＝，故α＝. 663π＋2x11．设a＝sin2b. ，cos x＋sin x，b＝(4sin x，cos x－sin x)，f(x)＝a·4(1)求函数f(x)的解析式；

π2π－，上是增函数，求ω的取值范围；

(2)已知常数ω>0，若y＝f(ωx)在区间23π＋2x解：(1)f(x)＝sin2·4sin x＋(cos x＋sin x)·

4(cos x－sin x) π1－cos2＋x＝4sin x·＋cos 2x

2＝2sin x(1＋sin x)＋1－2sin2x＝2sin x＋1，

故函数解析式为f(x)＝2sin x＋1. (2)f(ωx)＝2sin ωx＋1，ω>0. ππ由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，

222kππ2kππ得f(ωx)的增区间是ω－2ω，ω＋2ω，k∈Z. π2π－，上是增函数，

∵f(ωx)在23π2πππ－，⊆－，. ∴232ω2ωππ2ππ∴－≥－且≤，

22ω32ω30，. ∴ω∈412．(2012·湖北高考)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,23cos 1ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈2，1. (1)求函数f(x)的最小正周期；

π3π，0，求函数f(x)在区间0，上的取值范围．

(2)若y＝f(x)的图象经过点54解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋3sin 2ωx＋λ＝π2ωx－＋λ. 2sin6由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得

π2ωπ－＝±sin1，

6ππk1所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．

622315又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝. 266π所以f(x)的最小正周期是. 5ππ，0，得f＝0，

(2)由y＝f(x)的图象过点445πππ×－＝－2sin＝－2，

即λ＝－2sin6264即λ＝－2. 5π故f(x)＝2sin3x－6－2，

3ππ5π5π由0≤x≤，有－≤x－≤，

563665π1所以－≤sin3x－6≤1，

25π得－1－2≤2sin3x－6－2≤2－2，

3π0，上的取值范围为[－1－2，2－2 ]．

故函数f(x)在5

1．求下列函数的定义域：

(1)y＝lg sin(cos x)；(2)y＝sin x－cos x. 解：(1)要使函数有意义，必须使sin(cos x)＞0. ∵－1≤cos x≤1，∴0＜cos x≤1. 利用单位圆中的余弦线OM，

依题意知0＜OM≤1，∴OM只能在x轴的正半轴上，

∴其定义域为

ππx－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z. 22

(2)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0. 利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．

π5π在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数44的周期是2π，所以定义域为

π5πx＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z. 44

2．写出下列函数的单调区间及周期：

π－2x＋；(2)y＝|tan x|. (1)y＝sin3π2x－，

解：(1)y＝－sin3π2x－的减区间，

它的增区间是y＝sin3π2x－的增区间．

它的减区间是y＝sin3πππ由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

232π5π得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 1212ππ3π由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

2325π11π得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 1212π5πkπ－，kπ＋，k∈Z；

故所给函数的减区间为12125π11πkπ＋，kπ＋，k∈Z. 增区间为12122π最小正周期T＝＝π.

2ππkπ，kπ＋，k∈Z，减区间是kπ－，kπ，k(2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是22∈Z.最小正周期：T＝π.

3．求下列函数的值域：

cos x＋5(1)y＝；

(2)y＝sin2x－4sin x＋5. 2－cos xcos x＋52y－5解：(1)由y＝，得cos x＝. 2－cos xy＋1因为－1≤cos x≤1，

2y－54所以－1≤≤1，解得≤y≤6. 3y＋14因此，原函数的值域为3，6. (2)y＝sin2x－4sin x＋5＝(sinx－2)2＋1. 因为－1≤sin x≤1，所以2≤y≤10. 因此，原函数的值域为[2,10]．

ππωx＋，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．

4．设函数f(x)＝3sin62(1)求f(0)；

(2)求f(x)的解析式；

απ9(3)已知f4＋12＝5，求sin α的值．

π3解：(1)由题设可知f(0)＝3sin＝. 62π(2)∵f(x)的最小正周期为，

2π2π4x＋. ∴ω＝＝4.∴f(x)＝3sin6π2απππ9＋＝3sinα＋＋＝3cos α＝，

(3)∵f41236534∴cos α＝，∴sin α＝±1－cos2α＝±. 55