2.1.3 相等向量与共线向量国家获奖教案

向量的相等与共线向量

向量由其长度和方向所确定，对于两个向量a、b，它们的长度可能相等，也可能不相等；

1

2

1．___________________的向量叫相等向量，若a与b相等，记作_________

2．由于向量可以平行移动，所以任一组平行向量都可以移到同一直线上，因此平行向量也叫________

3．向量与有向线段的区别是：向量是______，只有_____和_____两个要素，与_______无关，

有向线段有_____、_____和_____三个要素，_____不同，尽管大小和方向相同也是不同有向

4．共线向量与相等向量的关系，即共线向量_______是相等向量，而相等的向量_______是

5．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．由此可知，任意一组平行向量都可以__________

答案 1．长度相等且方向相同 a＝b

2

3．自由向量 大小 方向 起点 起点 大小 方向

4．不一定

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知识点一

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．如果向量a与b相等，记作a＝b

特别提示：（1）任意两个相等的非零向量，通过平移都可以用同一条有向线段来表示，并且

（2）对一组相等的向量，将它们的起点平移到同一点O

（3）模相等（或方向相同）是向量相等的必要条件，模相等且方向相同是向量相等的充要

（4）对于一个非零向量，只要不改变它的大小和方向，就可以任意平行移动，平移后的向

（5）对于不共线的四点A、B、C、D，若AB＝CD，则A、B、C、D是一个平行四边行的

（6）相等向量具有传递性，即如果a＝b，且b＝c，那么a＝c

例1 如下图，四边形ABCD和ABDE

（1）写出与向量ED

1

（2）若｜AB｜＝3，求向量EC

解析：根据已知条件，观察图形，凡是与向量ED长度相等且方向相同的向量，就是其相等向量．利用向量证明E、D、C三点共线，就可以将向量EC的模转化为线段EC

答案

（1）∵四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，

∴AB DCABEDABDC EDDC

ED相等的向量是AB、DC

（2AB＝EDAB＝DC，

ED＝DC

ED与DC方向相同，从而E、D、C

∴｜EC｜＝｜ED｜+｜DC｜＝2｜AB｜＝6

规律总结：（1）在图形背景下找相等向量，只要根据相等向量的定义，观察图形可直观得出

（2）一般地，｜ AB｜+｜BC｜≥｜AC｜，当且仅当AB与BC

变式训练1 如图下，B、C是线段AD的两个三等分点，在以图中各点为起点和终点的向量

答案：设线段AD的长度为3，那么模为1的向量有6个，模为2的向量有4个，模为3的向量有2个，

∴ 共有12

在模为1的向量中， AB＝BC＝CD， BA＝CB＝DC

∴ 不同的向量只能写2

在模为2AC＝BDCA＝DB

∴ 不同的向量也只能写2

模为3的向量是AD和DA

故最多可以写出6个互不相等的非零向量，例如AB、BA、AC、CA、AD、DA

知识点二

疑似点提示：（1

（2）两个共线向量并不一定要在同一条直线上，只要两个向量的方向相同或相反，就是共

（3）两个共线向量a、b

（4）两个非零共线向量也包括以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不相等；方向相反且模相等；方向相反且模不相等．因此，共线向量不一定是相等向量，而相等向量

例2

（1

（2

（3）若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D

（4）若a为非零向量，则与a相等的向量必与a

（5

（6）在四边形ABCD中，若AB与CD

2

答案：（1）假命题，两个单位向量共线，它们的方向

（2）假命题，不相等的两个向量有可能其模不相等，但方向相同或相反，从而不相等的两

（3）假命题， AB与CD共线，有可能直线AB与直线CD平行，从而A、B、C、D四点不一

（4

（5）假命题，起点相同而终点不同的两条有向线段的方向可以相同或相反，从而所表示的

（6）假命题，若AB与CD共线，有可能｜AB｜＝｜CD｜，此时，四边形ABCD

感悟规律：判断与共线向量有关的命题的真假，要依据共线向量或平行向量的定义，并结合图形，列举反例等进行评判．只要有一个反例与命题不符，则命题不正确，同时要注意零向

变式训练3 如下图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在向量AOAC， OC， BO， DO， AB， CD， AD， BC， BD

答案 ∵A、O、C

AOACOC

∵B、O、D

BODOBD

∵AB∥DCAB与DC

∵AD∥BCAD与BC是共线向量．

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