2.1.2 向量的几何表示名师教学视频（文字实录）

向量的几何表示以及基本概念

长春农安巴吉垒镇中学

徐微

一．

教学内容分析

本节课是《平面向量》的起始课，内容属于概念性知识．通过本节课的学习，让学生体会到向量具有大小和方向两个基本特征，研究向量我们可以从大小和方向两个角度入手.对于本节课的教学，重要的是让学生去体会研究数学新对象的方法和基本思路，而不是向量的形式化定义及几个相关概念.因此，本节课内容的学习，它的理论意义远远大于它在解题中的作用.

二. 学生学情分析

学生能认识到生活中一些只有大小，没有方向的量，并且在学习三角函数的内容时已经接触到有向线段的知识，从而为本节课的学习提供了知识准备。这些学习内容及生活经验为本节课奠定了一定的基础. 三．教学目标

知识与技能：了解向量产生的生活背景，理解共线向量、相等向量等概念，理解向量的表示方法。

过程与方法：经历向量概念的形成过程，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：通过学习，使学生认识到用向量的方法从数学角度刻画现实问题的作用，培养学生观察、类比等发现规律的一般方法，激发学生的学习兴趣和钻研精神。

四．教学重难点

重点：向量的概念，共线向量、相等向量的概念和向量的几何表示。

难点：对向量概念，共线向量的理解。

五．教学过程设计

（一）创设情境

【情境1】老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜，猫在B处向正东方向以每秒10米的速度追去，试问：猫能否追到老鼠？

师生活动：教师提出问题，学生思考。教师补充讲解：老鼠逃窜的路线、猫追逐的1

路线实际上都是有方向、有大小的量.

设计意图：教师提出一个生活中的实际问题，学生进行直观感知、猜想、思考，激发学生学习兴趣。

【情境2】美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉克的军事基地距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信息导弹发射一次是否能击中目标？

师生活动：教师提出问题，学生认真观察并进行思考，得出只有距离没有方向不能击中目标，说明生活中有些问题不仅需要大小，还要有方向

设计意图：进一步让学生体会到在实际生活背景下，起决定作用的不仅需要大小，还要有方向，为向量概念的引出作准备。

1.向量的概念

从情境中得出生活中有些问题不仅需要大小还要有方向，形成一种新的研究对象——向量．

数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量．

而把那些只有大小，没有方向的量叫做数量．

【问题】思考：以下哪些是向量？

位移、时间、浮力、重力、身高、面积

师生活动：教师提出问题，学生思考，在学生回答的过程中并提问浮力和重力的方向，时间，身高，面积没有方向，是数量。

设计意图：通过设问激活学生已有的相关经验、知识，让学生感知概念的本质特征，发现并意识到概念的非本质特征

（二）问题引领，逐步探究

2.向量的表示

【问题】你认为怎样表示一个向量比较合理? 1、几何表示法(图形)：有向线段

【问题】什么是有向线段？

有向线段：带有方向的线段叫做有向线段. 如图是以A为起点、B为终点的有向线段，在线段的终点处画上箭头表示它的方向. 师生活动：回忆初中是如何表示一条线段、一条直线的？学生回答之后，类比初中的表示方法，由学生得到向量的表示方法。

2、字母表示法：AB或a

2

设计意图：

有向线段在讲三角函数线时就已经学过，同学通过回忆已有知识，对向量的图形表示更易掌握。字母表示是比较抽象的，通过回忆初中平面几何的学习中是如何表示一条线段、一条直线的，让学生在已有的基础之上受到启发，得到向量的字母表示，并理解字母表示的抽象性；

【问题】想一想：向量AB 与向量 BA 是不是同一向量,为什么？

师生活动：学生回答，教师补充，从有向线段长度看，表示这两个向量的有向线段长度相等，但是方向不同。这里，我们把有向线段的长度叫做AB的大小，引出向量模的概念。

3.向量的模

向量AB 的长度 (或称模)，就是向量AB 的大小，用有向线段的长短来表示. 记作：

AB或a.设计意图：通过设问，让学生对向量的图形表示更深层次的理解，也为引出向量的模的概念作铺垫。

【问题】思考:向量能比较大小么？向量的模呢？ 师生活动：学生回答。教师举例：

设计意图：通过思考，学生明确向量的两要素。

4. 特殊向量

【问题】现在我们建立起了一个向量的集合，这个集合中有没有特殊元素？

师生活动：教师组织学生进行思考，并进行讨论、交流，学生思维受阻时引导学生从大小的角度类比实数进行思考，从而得到：

长度为0的向量叫做零向量，记作0. 长度为1个单位长度的向量叫做单位向量．

【问题】零向量的方向是向哪里的? 说明（1）零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. （2）零向量

0 的方向是任意的 （3）若

e

是单位向量，则｜e｜＝ 1 设计意图：引导学生充分挖掘原有知识与新知识的关联，为新知识的学习提供借鉴，得出零向量和单位向量的概念.在后续学习中，也可以类比实数的运算和运算律，来学习向量的运算和运算律，这样更能吸引学生不断求知的欲望，提高学生学习的兴3

趣．问题的补充，为后面零向量与任意向量平行作铺垫。

【问题】思考：平面直角坐标系内，起点在原点的所有单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？

师生活动：同学合作研究，教师补充，轨迹是以O为圆心，

以1个单位长为半径的圆.（单位圆）

设计意图：引导学生从细节上进一步理解单位向量的概念

5.向量的特殊关系

【问题】向量和向量之间有没有一些特殊关系呢?请同学们观察正六边形图中的向量，并探索它们之间的关系。

BA师生活动：教师提出问题，引发学生思考探讨.组织学生进行交流、讨论，学生受阻时，引导学生认识到向量是具有COEF大小和方向的研究对象，我们可以从大小和方向这两个角度入手，学生代表发言后由其他同学补充，逐步完善，在此过程中得出向量之间的特殊关系. (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量. 向量a

与b相等，记作：a = b 通过演示幻灯片，让学生注意,对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，就可以任意平行移动，从而为理解共线向量的概念奠定基础. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 记作：a // b //c

规定：零向量与任一向量平行. 即对于任意向量a,都有0//a D师生活动：在学生得出平行向量的概念后，教师利用幻灯片来展示我们可以将一组平行向量通过平移（不改变大小和方向）到一条直线上，来让学生直观感知平行向量其实就是共线向量.最后，教师指出，共线向量和平行向量是研究向量的基础，

由此可以将一组平行向量平移（不改变大小和方向）到一条直线上，这给问题的研究带来方便. 设计意图：

1.

通过设置问题，让学生通过观察、交流、讨论，让学生参与概念的定义过程，让概念成为学生观察、交流、概括之后的自然产物；

2.

在画出有关向量并且用字母去进行表示的过程中，体会数形结合的数学思想，4

进一步巩固向量的几何表示和字母表示，自觉应用这两种方法来对向量进行表示；

3.

在知识的形成过程中进一步体会从大小和方向两个角度去研究向量，形成研究向量的基本方法，培养理性思维. 【问题】判断：AB//CD，则线段AB与CD平行

师生活动：由学生到黑板画出两个向量的位置关系，其他学生补充。

设计意图：加深学生对平行向量就是共线向量的理解。平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系，共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

（三）例题讲解，巩固练习

例1

如图，设O是正六边形的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.

师生活动：教师组织学生思考例题，在此过程中关注学生能否正确识别相等向量, 引导学生从大小和方向两个角度去思考。

变式训练（1）与向量OA长度相等的向量有多少个？

（2）与向量OA 共线的向量有哪些？

解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO. 变式训练（1）(11个)（2）DO , CB , FE 设计意图：本例是结合正六边形的一些几何性质,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质. 让学生巩固相等向量和平行向量，向量的模的概念。

例2 根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD的形状：（1）AD；BC（2）ABDC且ABAD.

师生活动：教师组织学生作图并回答，其他学生补充。

解:（1）四边形ABCD是平行四边形. （2）四边形ABCD是菱形. 设计意图：向量相等是一个重要的概念,会经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同。根据初中平行四边形以及菱形的判定将已有知识和新知进行整合。

（四）随堂练习

1、判断下列向量是否为平行向量

5

b

b a a a b 是

不是

是

2、已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a =

b; ②| a |=| b |; ③a与b

的方向相反; ④a =0或b =0; ⑤a与b都是单位向量.能判定向量a与b平行的是__①_③_④_. 3、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形， 在图中所示的向量中：

（1）

分别写出与 AO ，BO 相等的向量。 AO = BF , BO = AE （2）

写出与AO共线的向量。

BF, CO, DE （3）

写出与AO模相等的向量。 BO, DO, CO , BF, CF, DE , AE （4）AO与CO是否相等? 不相等

师生活动：教师组织学生回答，其他学生以及教师补充。

设计意图：对于单位向量、平行向量，相等向量的概念特征及相互关系必须把握好，对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合. （五）归纳小结

【归纳小结】教师与学生一起回顾本节课所学知识，并请学生回答这节课你学到了哪些知识？

设计意图：通过回顾本节课所学知识，并且用结构图来进行展示，使得知识间的逻辑关系更清晰.通过本节课的学习，学生体会研究数学新对象的基本思路.并且作为章起始课，向学生交代本章大致学习内容，进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.

6

（六）布置作业

教材P77 A组习题. （七）板书设计

1、

向量的概念

2、

向量的表示

3、

向量的模

4、

特殊向量

5、

向量的特殊关系

7