2.1.2 向量的几何表示教学设计(第二课时)

向量的几何表示教学设计

余姚中学

单丹婷

1.教学内容解析

本节课是

《普通高中课程标准实验教科书数学

4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。

平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。一方面，

它能为其他向量知识的学习奠基，

通过了解向量的实际背景，

理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；

另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，

可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，

可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。

所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，

其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、

构建研究蓝图”的大气。

由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。

2.教学目标设置

课堂教学目标如下. （1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；

（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；

（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量；

（4）

体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊；5.研究一般；进而提高提出问题、

研究问题的能力；

3.学生学情分析

（1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；

（2）如何作力的图示；

（3）已经经历并了解实数的形成过程；

（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；

（

5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。

但是，

高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。基于上述分析，本节课的难点在于向量相关概念的形成，这是学生获得新的数学对象的基本方法、

基本套路的重要体现，需要学生思维的灵活性和思考的主动性。

4.教学策略分析

采用启发引导式、探究讨论式的教学。通过向量概念的引入，章引言的教学，向量的表示，认识特殊，辨析升华和总结提升等教学环节循序渐进地引导学生研究新对象，合乎情理地定义新对象，

逐步形成研究向量的一般套路，引导学生达成本节课的教学目标。

笔者采取以下主要策略突破难点. （1）通过大量实例引导、启发学生联系既有生活经验，从众多实例中归纳抽象出实例中研究对象的质属性，形成向量这一概念，理解其所具备的两个要素；

（2）从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，大家一起探求合理而简洁的表示向量的方法；

（3）通过类比的思想，引导学生联系实数中特殊的0 与1，

结合向量的两个要素来理解零向量、单位向量和平行向量；

5.教学过程

环节1：向量概念引入

师：丹桂飘香，今天是10月19号，中共十九大在北京召开。随着中国实力的与日俱增，老师越发感到自豪！2015年中国第一次动用军舰在也门执行撤侨任务，大家来看视频。（播放大约2分钟的视频）看完视频，老师的感受是祖国实力的强大也在于危险的时候能把我们带回家！在也门撤侨行动中，临沂舰从也门亚丁港出发，护送中国公民到非洲东部的吉布提港。

如果你作为船长，出发时想要知道目的地的位置，需要知道哪些信息呢？

生：要知道目的地离亚丁港多远和在哪个方向。

师：把问题抽象出来就是如何由A点确定B点的位置，一种常用的方法是，以A为参照点，用B点与A点之间的方向和距离确定B点的位置。

师：再看问题：货车A和汽车B同时从O处出发，在笔直的东西方向的高速路上行驶，货车行驶速度为80km/h，汽车行驶速度为120km/h，1小时后

(1)若货车和汽车都向东行驶，则此时两车相距多少？

(2)若货车向东，汽车向西行驶，则此时两车相距多少？

生：40km，200km 师：速度大小相同，为什么距离相差这么大？

生：方向不同

师：这么说速度不仅要求有大小，

而且要有方向。你能否再举出一些既有大小又有方向的量？

生：位移、力、加速度

师：

生活中有没有只有大小没有方向的量？

生：

速率、面积、

体积

师：

数学中，

我们把这种既有大小、

又有方向的量叫做向量，

而把那些只有大小、

没有方向的量，称为数量。

环节2：章引言教学

师：许多同学喜欢平面几何，证明题的方法和技巧很有意思。我们来看问题：

生：利用相似，相等

师：这位同学思维很敏捷，但是并不是在座的所有同学都能立马想到的。如果遇到更难的问题，需要苦思冥想，证明起来困难很大。历史上数学家莱布尼兹也有类似的困惑。我们来看他在1679年写给惠更斯的一封信：

师：莱布尼兹希望几何证明可以像代数那样通过计算来解决。莱布尼兹没有完成他的设想，但是经过几代数学家的努力，终于找到了可以利用代数运算去研究几何问题的工具——向量大家翻到第二章的封面，看章引言。为什么说向量是工具呢？打个比方，公交车是交通工具，有了私家车之后，我们可以到公共交通工具不能到达的地方去旅游，提高生活质量。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具。有了它，今后在解决几何、三角的等问题时会轻松许多。在这一章中，学习向量后，希望大家用向量的眼光观察世界，用向量的语言表达世界，用向量的方法解释并解决问题，提高数学核心素养。向量是解决几何问题的高速路，接下来，让我们开启向量之旅！

环节3：向量的几何表示

师：引入一个新的概念后，我们总希望用符号去表示它。那么在引入向量后，用什么符号来表示向量呢？

探究1.实数的表示

师：实数用什么几何图形来表示呢？在初中学习了负数，如何画出负数的集合表示呢？

生：利用数轴

师：（在黑板上画数轴，标上数轴三要素,0,1,正方向）

师：用数轴上的点来表示实数，点是一个几何图形，实际上是用几何图形来表示实数。实可以这样，那么向量呢?我们能不能也找到一种几何图形来表示平面向量? 探究2.力的表示：“带箭头的线段”

问题：在水平桌面上有一个重20N的物体，请你用物理中的力的图示来表示重力

生：（让学生到黑板上作图）

在学生作图完成后，

师：这位同学画了比例线段表示10N，那么表示大小为20N的拉力的线段时，画了多长? 生：两倍的比例线段的长度

师：拉力竖直向上的方向是如何表示的? 生：用箭头表示的．

师：力的起点画在哪里？

生：假设物体质量均匀，画在重心上

师：这个图形就是一条线段上带了一个箭头，有线段有箭头，如果给这个图形起一个形象

点的名字，你会叫它什么? 生：就叫它“带箭头的线段”．

探究3.从“带箭头的线段”到有向线段

师：（在黑板上重力的力的图示上标上起点A和终点B）

箭头让线段带上了方向，我们把带有方向的线段叫做有向线段．

师：以点A为起点，点B为终点的有向线段的图形我们画出来了，类比线段的记法，又如何用符号来表示它呢? 引导学生回忆线段的记法，以点A、点B为端点的线段，既可以记作线段AB，也可以记作线段BA，线段AB与线段BA表示同一条线段，在表示有向线段时，就要解决好如何表达它的方向问题．

师：联系到前面我们是如何在图形上，让线段带上方向的，有没有办法在表示有向线段时，

也让它带上方向? 生：把起点写在终点的前面，用箭头连接起点和终点．

师：我们通常在字母上方画上一个箭头，记作AB．

师：AB与BA是表示同一条有向线段吗? 生：不一样．

师：有什么不一样?不一样中有一样吗? 生：方向不一样，它们的长度是一样的．

师：对，这里还有一个有向线段的长度问题，如何表示有向线段AB的长度呢？在实数中，我们用什么符号表示实数到原点的距离呢？

生：绝对值

师：向线段AB的长度用什么符号表示？

生：和绝对值符号一样

师：已知AB，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作|AB|

让学生自己动手在纸上画一个有向线段，让学生说说如何画有向线段的，如何确定一个有向线段的。学生不知道如何描述，老师让这个学生到黑板上画出有向线段。

师：确定一个有向线段需要知道哪些？

生：起点，终点和长度

师：这位学生回答的答案可以确定一个有向线段，有没有其他的方法来确定一个有向线段？

生：起点，方向，长度

师：临沂舰从也门亚丁港出发，护送中国公民到非洲东部的吉布提港。作为船长，要知道的是从哪里出发，按什么方向航行，有多远。我们把起点，方向，长度称为有向线段的三要素。

探究4.从有向线段到向量．

师：现在我们再次回到能不能找到一种几何图形来表示平面向量的问题，向量是具有大小和方向的量，有向线段起点、方向、长度的几何图形。我们自然可以想到用有向线段来表示的向量。如何表示呢？

生：按一定比例画出线段，再在终点处画上箭头得到有向线段，用它的长短表示向量的大小，用它的方向表示向量的大小。

师：向量可以用有向线段表示。如何用符号来表示向量？

生：和有向线段一样

师：以A为起点、B为终点的有向线段表示的向量。记作AB，也可以用小写的字母上加箭

rrr头来表示向量，即用a，b，c，…来表示向量。

师：但是同学们看书，书中的表示和老师黑板上写的不一样。大家有没有发现旁边的小字谢了什么？印刷用黑体小写字母表示向量，书写要写箭头，注意印刷体和手写体的区别。

师：如何用符号表示向量AB大小? 生：和有向线段一样

师：向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，记作|AB|。有向线段是集合图形，用有向线段表示向量，画的是有向线段，表示的向量。

环节4：认识特殊

探究1：从大小看

师：在实数中，0是正负的分界点，1是单位作用很大。你认为哪些向量特殊？

生：零向量

师：长度为0的向量叫做零向量。向量是具有大小和方向的量，零向量的方向是什么？

生：没有方向

师：向量是具有大小和方向的量，说零向量没有方向合理吗？

生：不合理

师：为了统一方便起见，我们规定零向量的方向是任意的。

师：零向量的大小为0，从大小看，还有哪些向量特殊？

生：长度为1的向量

师：长度等于1个单位的向量叫做单位向量。

让学生自己动手在纸上画一个单位向量。

师：单位向量唯一吗？

生：不唯一，有无数个

师：若平面上所有单位向量归结到共同起点

O，则这些向量终点所构成图形什么？

生：圆心为O，半径为1的圆

师：如果给定一个单位向量，单位向量的方向就是从起点到终点。单位向量是统称概念，不严指某一个向量。

探究2：从方向看

师：我们从大小的角度看向量得到了零向量和单位向量。向量是具有大小和方向的量，我们还可以从什么角度看向量呢？

生：方向

探究：设O为正六边形ABCDEF的中心，给图中的一些线段加上箭头表示向量，并说说你所标注的向量方向上的关系。

让学生到黑板上给图中的一些线段加上箭头表示向量并说说所标注的向量方向上的关系。

生：有同向，反向，还有夹角的

师：我们把方向相同或相反的向量叫做平行向量，记作a//b。但是零向量怎么办呢？零向量的方向的任意的。零向量就像墙头草，我们规定零向量与任意一个向量平行，即对于任一向量a，都有0//a

环节5：辨析升华

练一练、

判断题

（1）零向量没有方向（

）

（错误）

（2）单位向量是唯一的

（

）

（错误）

（3）向量的模是一个正实数（

）

（错误）

（4）平行向量方向一定相同（

）

（错误）

（5）物理中的作用力与反作用力是一对平行向量（

）（正确）

环节6：总结提升

（1）向量之旅的收获

（2）类比的思想方法

德国天文学家开普勒曾经说过：“我珍惜类比剩余其他任何东西，它是我最信赖的老师。它能揭示自然界的秘密。”

实数到平面向量的类比：1.几何表示；2.长度；3.特殊的元素

（3）再看章引言

1.用什么方法学习向量？向量有大小和方向，大小从数的角度，方向从形的角度，用数形结合、类比的思想方法学习向量；

2.还可以研究向量的什么？不共线的情况；从大小和方向一起看；类比实数的运算和运算律，向量的运算和运算律。

环节7：作业布置

1.阅读书本P78阅读材料：《向量及向量符号的由来》

2. 书本P77A组练习1,2