2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质课教案

2．3．3平面向量的坐标运算及向量共线的坐标表示

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. （4）理解平面向量共线的坐标表示；

（5）掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式. 教学重点：平面向量的坐标运算,平面向量共线的坐标表示

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

2.若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 若a(x,y)和实数，则a(x,y). 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

二、讲解新课：

思考：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，怎样求AB的坐标？

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

AB=OBOA=( x2，

y2)  (x1，y1)= (x2 x1， y2 y1) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 思考：你能标出坐标为(x2 x1， y2 y1)的P点吗？

向量AB的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。

思考：（1）两个向量共线的条件是什么？

（2）如何用坐标表示两个共线向量？

设a=(x1，

y1) ，b=(x2，

y2)

其中ba. x1x2由a=λb得，

(x1，

y1) =λ(x2，

y2)



消去λ，x1y2-x2y1=0 yy21a∥b

(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0 探究：（1）消去λ时能不能两式相除？

（不能

∵y1，

y2有可能为0，

∵b0

∴x2，

y2中至少有一个不为0）

（2）能不能写成y1y2

？

（不能。

∵x1，

x2有可能为0）

x1x2abx1y2x2y10

a(3)向量共线有哪两种形式？

∥b

(b0)三、讲解范例：

例1

已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2， 2) 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6， 0) 例2已知三个力F1 (3， 4)， F2(2，

5)，

F3(x， y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标. 解：由题设F1+F2+F3=0 得：(3， 4)+ (2，

5)+(x， y)=(0， 0) 32x0x5即： ∴ ∴F3(5，1) 45y0y1例3已知a=(4，2)，b=(6，

y)，且a∥b，求y. 例4已知A(-1，

-1)，

B(1，3)，

C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.

思考：你还有其它方法吗？

a例5若向量=(-1，x)与b=(-x，

2)共线且方向相同，求x

例6设点P是线段P1P2上的一点，

P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2). (1)

当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

(2)

当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

思考：（1）中

P1P：PP2=？

（2）中P1P：PP2=？

若P1P：PP2=如何求点P的坐标？

四、课堂练习：

1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且

MP1MN， 求P点的坐标

22．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，

则AB2BC= . 3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，

求证：四边形ABCD是梯形. 五、小结：(1)平面向量的坐标运算； （2）平面向量共线的坐标表示；

（3）平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；

（4）向量共线的坐标表示.

六、课后作业：《习案》作业二十二