2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示全国优秀课堂实录

2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示

【学习目标】

1.了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；

2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

【新知自学】

知识回顾：1．平面向量基本定理：如果

，

是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的任一向量

，有且只有一对实数λ1，λ2；

使得

给定基底，分解形式惟一. λ1，λ2由

，

，

唯一确定

. 2. 向量的夹角:已知两个非零向量

、

，作

，

，则∠AOB＝

，叫向量

、

的夹角，

当

=

，

、

同向；当

=

，

、

反向（同向、反向通称平行）；

当

=

°，称

与

垂直，记作

。

新知梳理：

由前面知识知道，平面中的任意一个向量都可以用给定的一组基底来表示；当然也可以用两个互相垂直的向量来表示，这样能给我们研究向量带来许多方便。

1．平面向量的正交分解：把向量分解为两个

的向量。

思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？

2．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我

们分别取与

轴、

轴方向相同的两个单位向量

、

作为基底.任作一个向量

，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数

、

，使得

=x +y ………○1 我们把

叫做向量

的（直角）坐标，记作

=(x,y)………○2 其中

叫做

在

轴上的坐标，

叫做

在

轴上

的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与

相等的向量的坐标也为

.

特别地，

=(1,0)

=(0,1)，

=(0,0). 3. 在平面直角坐标系中,一个平面向量和其坐标是一一对应的。

如图，在直角坐标平面内，以原点

为起点作

= ，则点

的位置由

唯一确定. 设

=x +y ，则向量

的坐标

就是点

的坐标；反过来，点

的坐标

也就是向量

的坐标.

对点练习：

1. 如图，向量

、

是两个互相垂直的单位向量，向量

与

的夹角是30°，且| |=4，以向量

、

为基底，向量

=_________

2. 在平面直角坐标系下，起点是坐标原点

，终点A落在直线

上，且模长为1的向量

的坐标是______ _____

【合作探究】

典例精析：

例1：请写出图中向量

, , 的坐标

变式1：请在平面直角坐标系中作出向量

、

，其中

=（1,-3）、

=（-3，-1）.

例2:如图所示，用基底

、

分别表示向量

、

、

、

并求出它们

的坐标。

变式2：已知O为坐标原点，点A在第一象限，

，

，求向量

的坐标

【课堂小结】

向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义。

将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标。

【当堂达标】

1、已知力

在水平方向与竖直方向的分力分别是4和3，则力

的实际大小是__________，若水平方向为x轴的正方向，竖直方向为y轴的正方向，则力

的坐标表示是_____ _________ 2、若

，（

，

为单位向量），则

的坐标（x，y）就是____的坐标，即若

=（x，y），则点A的坐标就是_______________。

3、如右图：|OA|=4,B(1,2),求向量

的坐标。

【课时作业】

1．设

、

是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两

个单位向量，且

，

，则△OAB的面积等于（

）

A、15

B、10

C、7.5

D、5 2、在平面直角坐标系中，A（2,3），B(-3,4)，如图所示，x轴，y轴上的两个单位向量分别是和，则下列说法正确的是__________

①

2 +3 ;②

3 +4 ; ③

-5 + ;④

5 - .

3、如图所示的直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，BC‖OA，OC=6，

，则用坐标表示下列向量：

_______________；

__________ ____；

______________；

______________；

4.在直角坐标系xoy中，向量

的方向如图所示，且

，分别写出他们的坐标。

5.如图，已知O为坐标原点，点A在第一象限，

，

，求向量

的坐标。

【延伸探究】

在平面直角坐标系中，A（1,1）

，B（-2,4），则向量

的坐标是_________