2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计(教案)

2.3平面向量的基本定理及坐标表示

主备人：杨春芳

授课班级：5813、14班

授课时间：

一、《考试大纲》、《课程标准》要求

1.了解平面向量的基本定理及其意义.

2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 二、教材分析

平面向量基本定理是学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础，平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加法、减法和实数与向量的积的基础，因此是平面向量中的重要内容之一，充分体现了转化和数形结合的思想。平面向量共线的坐标表示在教材中起着向量坐标运算的延伸作用，它是在学生对平面向量基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，平面向量共线的坐标表示为了用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，同时也为数量积的坐标表示及运算奠定了基础。

2.3.1平面向量基本定理

一、预习提纲

阅读教材P93~94页，完成下列问题：

（1）任意作两个不共线的向量e1,e2

，请你作出向量3e12e2,e12e2

，并思考：平面内的任意向量是否都可用形如1e12e2

的向量表示？

（2）平面向量的基本定理中关键词有哪些？你是如何理解的？

（3）基底、两向量的夹角与垂直的概念分别是什么？

二、能力发展目标

1.通过实例，借助向量加法的平行四边形法则作图，直观感知、归纳概括出平面向量的基本定理，掌握两个向量夹角的概念及两向量垂直的概念；

2.通过标杆题、类比题的学***面向量基本定理解决简单的实际问题；

3.培养动手操作能力、观察判断能力，体会数形结合的思想方法. 三、学生活动预设

（一）前备知识回顾

1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？

2.怎样理解向量的数乘运算λa？ 3.平面向量共线定理是什么？

（二）学生活动探究

学生活动探究一---------平面向量基本定理

1．给定平面内任意两个向量

,

，如何求作向量3

＋2

和

－2

？

2．如图，设OA，OB，OC为三条共点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平行四边形？

, 不共线，

= 3．在下列两图中，向量 , 能否在直线OA、OB上分别找一点M、N，使 +

?

，则向量

分别与

4.在上图中，设

=

,

, =

, =

，

的关系如何？从而向量

，与

,

的关系如何？

5.若上述向量

都为定向量，且

,

,

,

不共线，则实数λ，λ是否存在？是否唯一？

126.若向量

与

还能用

或

共线，

＋

表示吗？

7.根据上述分析，平面内任一向量

都可以由这个平面内两个不共线的向量

,

表示出来，从而可形成一个定理. 平面向量基本定理 如果

,

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数

，使

＝

＋

注意：①

,

是两个不共线的向量；

②

是平面内的任意向量；

③

为实数，且唯一确定. 不共线的向量

,

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

同一平面内可以有不同的基底，就像平面上可选取不同的坐标系一样.

学生活动探究二---------平面向量的夹角及垂直概念

不共线向量有不同方向，它们的位置关系可以用夹角来表示，关于向量的夹角，我们规定：

，作

，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠ =

1.已知两个非零向量

和

=

,

的夹角；

AOB=

为向量

与

2.范围：

，

；

同向；当

时，

反向；当

时，则

垂直，记作

3.当

时，

与

与

与

反思总结：（1）两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角；（2）确定向量夹角时特别要注意向量的方向.

（三）标杆题（课本94页例1）

如图，已知向量

,

，求作向量－2.5

＋3

.

要求：（1）分析作图的方法、步骤；

（2）是否有其他作图方法？

（3）反思：归纳作图步骤

（四）类比题

（五）课堂小结

e1e21、通过本节课的学习，你学到哪些知识方法？2、需要注意的关键点有哪些？

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

一、能力发展目标

1.借助物理学力的分解，体会平面向量的正交分解，通过类比平面直角坐标系中点的坐标能够将向量用坐标表示；

2.通过标杆题的学习能写出一个平面向量的坐标，体会坐标运算解决问题的方法. 3.培养运算求解能力,体会数形结合的思想方法

二、学生活动预设

（一）前备知识回顾

1.平面向量的基本定理是什么？

（二）学生活动探究

学生活动探究一---------平面向量的正交分解及坐标表示

1.如图，在光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力

的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力

,

叫做把重力G分解. 3.由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量

,均可以分解为不共线的两个向量

和

＝

，使

＋

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 4.我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？

=

,填空：

5.如图在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设 =

,

=_____

（

）

=______，

=_____， ,

,如何表示？

（2）若用

，

来表示 （3）向量 能否由

，

表示出来？

如图，

，

分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以

，

为基底，则对于该平面内的任一向量

，有且只有一对实数x,y，可使

=

+

,这样,平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x,y）叫做向量

的坐标，记作a(x,y)，其中，x叫做

在x轴上的坐标，y叫做

在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.

y7

4

BDCjoixA3

5

显然，

=（1,0），

=（0,1），

=（0,0）

在直角坐标平面中，以原点O为起点作 =

，则点A的位置由向量

唯一确定，设

+

,则向量 的坐标（x,y）就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x,y)也就是量 的坐标,因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示.

即时训练：写出下列向量的坐标,其中

，

是与x轴，y轴方向相同的单位向量. (3)a=-i-3j(4)a=-5j(5)a=-4i(1)a=2i+3j(2)a=2i-3j、

标杆题（课本96页例2）

,

，并求出它们的坐标.

如图，分别用基底

，

表示向量

,

,

2.3.3 平面向量的坐标运算

一、能力发展目标

1.通过向量线性运算的运算律推导出向量的加法、减法、数乘运算的坐标运算法则；

2.通过标杆题的学习，能写出一个平面向量的坐标，体会坐标运算解决问题的方法； 3.培养运算求解能力、体会数形结合的思想方法. 二、学生活动预设

（一）前备知识回顾

1.平面向量的基本定理如何表示？

2.如何将向量进行正交分解？如何将向量进行坐标表示？

（二）学生活动探究

学生活动探究一---------平面向量的坐标运算

=

，则

=

+

,1.设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若

=

,

=

，

,

a（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？

根据向量的线性运算性质，向量

-

,

2.根据向量的坐标表示，向量

-

a的坐标分别如何表示？

3.如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？

（1）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；

（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 4.如图,已知A

，B

，那么向量 的坐标如何表示？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？

任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标. 注意：（1）向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关，所以要区分点的坐标和向量的坐标的表示；

（2）平面向量的加、减、数乘运算结果仍然是向量，坐标的运算结果仍然是坐标 标杆题（课本97页例4）

=(－3,4), 求

，3

的坐标. 已知

=(2,1),

-

＋4

类比题（课本97页例5）

如图，已知 ABCD的三个顶点的坐标分别是A（-2，1）、B（-1,3）、C(3,4)，试求顶点D的坐标. 反思：这类题型的基本解题步骤、方法是什么？需要注意哪些问题？ 作业：课本100页练习，101页A组1,2,3 课堂小结：通过本节课的学习，你学到了哪些知识点？掌握哪些方法？易错点有哪些？

2.3.4 平面向量共线的坐标表示

一、能力发展目标

1.通过复***面向量坐标的概念及向量的坐标运算，结合共线向量满足的条件总结出向量共线的坐标表示. 2.通过标杆题、类比题的学习体会向量共线的坐标表示在解题中的应用，掌握判断向量共线问题的方法步骤. 3.培养逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力. 二、学生活动预设

（一）前备知识回顾

1.平面向量的坐标表示. 2.平面向量的坐标运算. （二）学生活动探究

学生活动探究一------平面向量共线的坐标表示

共线（其中

满足什么关系？

）1.

如果向量

,

，那么

,

共线

=

，

）2.

设

=

,

若向量

,

（其中

，则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？

（其中

）共线

,

结论：向量

即时训练：课本98页例6,101页A组5 （三）标杆题1（课本98页例7）

已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A、B、C三点是否共线？

要求：独立思考，尝试完成解题过程，并思考是否有其它解法？

类比题（课本100页4,101页6，B组2）

反思：这类题型的基本解题思路、方法、步骤是什么？

三点共线的判断：先由三个点中的任意两个点分别组成两个向量，再判断这两个向量共线即可

标杆题2 （课本99页例8）

设点P是线段

上的一点，

，

的坐标分别是

，

（1）

当点P是线段

的中点时，求点P的坐标；

（2）

当点P是线段

的一个三等分点时，求点P的坐标. 类比题

（课本101页6、7）

探究思考:若点

，

，点P是直线

上一点，且

，那么点P的坐标是多少？

课堂小结

1.

应用共线向量的坐标表示可以解决哪些简单的问题？

2.

判断或证明三点共线的基本步骤是什么？常见的方法有哪些？