2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计实例

2.3.2教材分析：平面向量的正交分解及坐标表示(1)向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。本课时内容包含“平面向量基本定理”和“平面向量的正交分解及坐标表示”.此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征,而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标运算，更多的是向量的代数形态。平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.学情分析：对于学生来说，向量是个新内容。前面学生已经掌握了向量的物理背景和概念，向量的几何表示，向量加减法及几何意义。学生对这块知识的学习是模棱两可的，知识的掌握是浮在表面上的。因此，在本课的教学之中教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动．所以企图在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们.教学中，教师要采取适当的方法，注意启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法，不是简单地告诉他们如何写出向量的坐标．要注意引导学生积极参与知识形成的关节点处的讨论、交流等活动,引导学生总结知识获得过程中的思想方法.不要简化知识发生过程的教学，而把中心放在练习强化上．要防止练习中知识的面太大而产生负迁移而影响理解知识的本质教学目标：（1）知识与技能了解向量夹角的概念，了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交其坐标表示。（2）过程与方法通过对平面向量基本定理的探究，以及平面向量坐标建立的过程，让学生体验数学定理的产生、形成过程，体验由一般到特殊、类比以及数形结合的数学思想，从而实现向量的“量化”表示。（3）情感、态度与价值观引导学生从生活中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和应用意识，提高学习数学的兴趣，感受数学的魅力。教学重点:平面向量基本定理的探究，以及平面向量的坐标表示教学难点：对平面向量基本定理的理解及其应用课时1课时分解及教学设计一、复习回顾问题1.平面向量的基本定理是什么？

二、设计问题,创设情境问题2:设平面直角坐标系中,x轴的单位向量为i,y轴的

为从原点出发的向量,单位向量为j, 点A的坐标为(2,3)

= (如图).则

三、学生探索,尝试解决问题2:

=2i

=3j , .

=2i由平行四边形法则知 +3j.四、信息交流,揭示规律问题2:如何建立向量的坐标体系?需要具备什么样的条件?需要建立单位正交基底,取两个互相垂直的单位向量即可.1.平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,特别地,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).2.平面向量的坐标运算若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx,λy).

=(若A(x1,y1),B(x2,y2),则

x2-x1,y2-y1).3.向量平行的坐标表示a∥b(b≠0)的等价条件是x1y2-x2y1=0证明:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.由a=λb得,(x1,y1)=λ(x2,y2)⇒

1=λ 2,消去λ,x1y2-x2y1=0.

1=λ 2,思考：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点，如何用向量方法求点P的坐标？思考：一般地，若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P是直线P1P2上一点，且PP1PP2，那么点P的坐标有何计算公式？P(x1x2y1y2,)11

四、运用规律,解决问题【例1】已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.解:a+b＝(－1，5)，a-b＝(5，－3)，3a+4b＝(－6，19).【例2】已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形的四个顶点.

得D=(2,解:当平行四边形为ABCD时,由 2);当平行四边形为ACDB时,得D=(4,6);当平行四边形为DACB时,得D=(-6,0).

与

平行吗?直线AB与直线CD平行【例3】已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量

吗?

=(1-(

=(解:因为

-1),3-(-1))=(2,4), 2-1,7-5)=(1,2),

∥

,又因为2×2-4×1=0所以

=(1-(

=( 又因为

-1),5-(-1))=(2,6),2,4),2×4-2×6≠0,

与

不平行,所以

所以A,B,C不共线,所以AB与CD不重合,从而AB∥CD.五、变式演练,深化提高练习1:已知三个力F1(3,4),F2(2,-5),F3(x,y)的合力F1+F2+F3=0,求F3的坐标.解:由题设F1+F2+F3=0得:(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0),即:3+2+

=0,

=-5,∴∴(-5,1)即为所求.4-5+

=0,

=1,练习2:若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同,求x.解:a=(-1,x)与b=(-x,2)共线,所以(-1)×2-x·(-x)=0,x=±2,因为a与b方向相同,所以x=2.

,

的坐标.练习3:已知点P(2,-1),Q(3,2),求

=(3,解: 2)-(2,1)=(1,3),

=( 2,-1)-(3,2)=(-1,-3).六、反思小结,观点提炼

请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?1.理解平面向量的坐标的概念;2.掌握平面向量的坐标运算;3.会根据向量的坐标,判断向量是否共线.布置作业课本P100练习第2,4题.课本P101习题2.3A组第1,3,4,5题.