探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期第一课时教学设计

高邮市2008年度高中数学优质课评比活动教案

三角函数的图像与性质（第一课时）

教学目标：①

知识目标：正弦函数、余弦函数图象的画法

②

能力目标：（1）会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象；

（2）掌握正弦函数图象的“五点作图法”；

③

德育目标：（1）培养学生勇于探索、勤于思考的精神；

（2）培养学生合作学习和数学交流的能力；

教学重点和难点

①教学重点：用“五点作图法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象。

②教学难点：利用单位圆画正弦函数图象。

教学过程：

一、引入：

【师】在上一节课我们学习了三角函数的周期性，通过学习我们知道函数ysinx,ycosx,ytanx的最小正周期分别为？

【生】正弦函数、余弦函数的最小正周期都是2，正切函数的最小正周期为

【师】根据周期的“周而复始”性质，也就是说每隔2个单位，正弦函数、余弦函数的图像与某些性质就要重复一次，而正切函数则是每隔个单位其图像与某些性质也要重复一次。

由此，根据上述结论要研究三角函数的图像与性质我们只需要研究在一个周期范围内三角函数的图像与性质即可，根据上述思想，

从今天起我们大家一起来研究三角函数的图像与性质（板书：三角函数的图像与性质（第一课时）。

二、新课讲解：

【师】根据我们前面对指数函数、对数函数、幂函数的研究，我们发现如果较为透切的研究函数的性质，最好先研究函数的哪方面知识？

【生】如果能作出函数的图像再来研究函数的性质那就很方便了。

【师】我们先来研究正弦函数ysinx的图像画法，（板书：1、正弦函数ysinx图像的画法）

由于正弦函数的周期为2，因此我们只需画出函数的一个周期的图像，然后根据周期性就可以得到整个函数的图像了。

我们选择熟悉的区间[0,2]

那么对于一个完全陌生函数我们是如何作出它的函数图像的呢？（提问）

【生】----描点法（列表、描点、连线）

【师】下面我们利用描点法作出正弦函数ysinx,x[0,2]上的图像。

（1）列表：

x

y

（2）描点

（3）连线

0 

61

2

33

2

21 2

35

61

2

0 ……

2

0 0 3

2……

63223562

高邮市2008年度高中数学优质课评比活动教案

【师】以上我们利用描点法做出了正弦函数ysinx，x[0,2]的图像，在上面作图中，你觉得有不如意的地方吗？

【生】描点越多，图像越准确，点还不够多（等等）

【师—点评】在上面的作图中，我们只是借助于有限的几个特殊角进行描点，毕竟对于其它非特殊角的正弦值我们就不清楚了，这样作出的图像精确度有时就值得商榷，能否比较精确地绘出任意一个角的正弦值呢？毕竟作出一个标准的图像对我们今后正确的研究三角函数的性质至关重要。

【师】你有方法吗？（让学生自由思考）（提问？）

方法1：我们也可以借助计算机采用描点法作出正弦函数的图像：

0 0 1 0.841471

0.1 0.099833 1.1 0.891207

0.2 0.198669 1.2 0.932039

0.3 0.29552 1.3 0.963558

0.4 0.389418 1.4 0.98545

0.5 0.479426 1.5 0.997495

0.6 0.564642 1.6 0.999574

0.7 0.644218 1.7 0.991665

0.8 0.717356 1.8 0.973848

0.9 0.783327 1.9 0.9463

方法2、借助正弦线描点作出正弦函数的图像。

【师】正弦线也能描点？你能利用正弦线作出正弦函数ysinx,x[0,2]点(

【生】

【师】能推广到任意点(x0,sinx0)吗？

【师】掌握了利用正弦线作出函数ysinx图像上的点，就可以作出一系列的点：

下面我们介绍利用正弦线作正弦函数图像的方法，

第一步：列表。首先在单位圆中画出0,3,3)吗？

26，，,…，2的正弦线。在x轴上[0,2]这一段相应的分32成12等份；

第二步：描点。把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．

第三步：连线。用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数ysinx,x[0,2]的图象。

高邮市2008年度高中数学优质课评比活动教案

【师】点评：上述两种作法相比第一种方法而言就较为精确了，特别对于利用正弦线作图，图像的变化一目了然：当自变量x由0逐渐增大时，图像在[0，]递增并且呈上凸形状，在2处函数达到最大2值，在[，]递减且上凸，过了点，在[,]继续递减并且下凹，到2323达到最小值，之2后在[,2]递增且下凹……。

【师】以上我们解决了ysinx,x[0,2]的图像，那么我们能都得到ysinx,xR的图像呢？

【生】先作出函数ysinx，x0,2的图象，然后将作出的图像向左、右平行移动（每次2个单位长度），就可以得到正弦函数ysinx，xR的图象，（多媒体显示）

32

【师】一般来说，我们将正弦函数的图像叫做正弦曲线

【师】以上我们利用三种方法作出了正弦函数ysinx,x[0,2]的图像，并且对图像的直观形状作了了解，但在今后的绘图中如果我们每次都这样，则显得比较繁琐，我们能否在精确度要求不高的时候比较快的作出正弦函数的图像呢？

【师】我们还是再来观察一下ysinx,x[0,2]的图像，请大家观察上述图像，其图像变化有没有一些关键特征？

【生】观察正弦函数在[0,2]内的图像，可以发现起关键作用的点有以下五个：

3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)

22事实上，描出这五点后，函数ysinx,x[0,2]的图像形状就基本确定了。因此在精确度要求不高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图，

【师】该同学已经把老师要说的话说了，我们将这种作图方法称为“五点法”。

注意五点的特征：最高点（波峰）；最低点（波谷），平衡点（使得sin,cos等于0的点），它们属于三

高邮市2008年度高中数学优质课评比活动教案

种特殊的函数值（正弦值为1，-1，0）。

课件演示：“正弦函数图象的五点作图法”

【师】以上我们学习了正弦曲线的图像以及它的画法，我们能否以正弦曲线为基础，作出余弦函数ycosx,xR图像呢？（请同学们互相讨论看看？1分钟时间）

【生】-------用平移变换法作ycosx,xR的图象（放手让学生独立思考，自主活动，通过自己的探究得出余弦曲线。实际上，只要学生能够想到正弦函数和余弦函数的内在联系

即

------- cosxsin(2x)通过图象变换，由正弦曲线得出余弦曲线的方法是比较容易想到的。）

cosxsin(x)，只需将ysinx,xR的图象左移个单位即得。

22课件演示：

由于ycosxcos(x)sin[(x)]sin(x)，所以余弦函数ycosx，

22xR与函数ysin(x),xR是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：

2正弦曲线向左平移个单位得到，即：

2

ycosx，xR

ysinx，xR

3

2



3

2





222

余弦函数的图象叫做余弦曲线。

【师】对比正弦曲线、余弦曲线，这两类曲线相似之处吗？

【生】这两个曲线形状一模一样，不过在坐标轴上的位置不同而已。

【师】既然如此，我们能否也用五点快速作出余弦曲线的图像呢？

【生】同正弦函数图像一样，决定余弦曲线图像的也是五个关键点：(0,1),(3,0),(,1),(,0),(2,1)，22如果要求不精确，我们也可以借助此五点作出余弦函数在一个周期内的图像，进而利用周期作出整个图像。

课件演示：“正弦函数图像的五点作法”

高邮市2008年度高中数学优质课评比活动教案

【师】上面我们学习了正弦、余弦函数的图像的画法，我们不仅认识了正弦函数、余弦函数图像的形状，同时学会了利用五点法快速作出它们的图像，对于五点我们有下面两点说明：

①五点的间隔相等，等于周期的T，因而有时只要确定起点后就可以很快定出五点。

4②五点是连续变化的五点。

下面我们通过一则例题巩固五点画法思路：

例1、用五点法作出函数下列函数的图像，（并说出它们与函数ysinx的关系）。

（1）ysinx1

（2）ycosx；

分析：要想作出整个函数的图像，根据函数的周期性，先作出其一个周期内的图像，选择熟悉的区间[0,2]。

（1）ysinx1，x[0,2]．

自变量

1

O



2

解: 列表

X

cosx

-cosx 函数值

y

x

sinx

0



2

0

1 3

22

0

1 1

2 1

0 0

1 y 32x

2

011232200

110011y2

-

1-

ox2

1-

五、课堂小结：①

正弦函数图象的几何作图法；②

正弦函数图象的五点作图法（注意五点的选取）；③

由正弦函数图象平移得到余弦函数的图象

六、教后反思：

232