2.1.3 相等向量与共线向量PPT专用教学设计内容

《空间点、直线、平面之间的位置关系》教案

一、课题

2.1.1空间点、直线、平面之间的位置关系

二、教学目标

1、知识与技能

①

理解空间平面的概念，掌握平面的基本性质

②

熟练掌握文字语言、图形语言、符号语言转换

③

掌握三条公理，并且能运用三条公理证明一些简单空间图形的位置关系

2、过程与方法

①

通过三种语言的学习，培养学生分析问题的能力，作图能力以及空间想象能力

②

学生亲历两条公理归纳过程，学会利用已有的知识与经验归纳新的知识

3、情感态度与价值观

通过语言、符号、图形的转换，使学生体会到数学的乐趣，激发其学习数学的兴趣

三、课型

新授课

四、课时

第一课时

五、教学重难点

④

重点：文字语言、图形语言、符号语言转换，运用三条公理证明一些简单空间图形的位置关系

难点：文字语言、图形语言、符号语言转换

六、教学过程

1、新课引入

师：图示是我们生活中常见的物体，观察图片，你能总结出它们的共同特点吗？（课桌面、黑板面、海平面）

生：它们都是平面

师：非常好，那么我们应该如何理解平面这一几何概念呢？

（设计意图：通过生活中的实际例子出发，提出问题，引发思考，导入新课）

2、教授新课

生：...... 师：几何学里所说的“平面”是从这样的一些物体之中抽象出来的，但是应该要注意几何里的平面平面是无限延伸的，无大小，无厚薄之分，不可度量。

师：下面请同学们做一道小练习：

①

10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚；

②

有一个平面的长是50m，宽是20m；

③

黑板面是平面；

④

平面是绝对的平，没有大小，没有厚度，可以无限延展的抽象数学概念。

其中正确的说法是

师：那么我们应该如何画平面呢？

生：...... 师：我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且平行四边形的锐角通常画成45°.且横边长等于其邻边长的2倍，如图所示。

师：如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图所示。

师：同学们还要注意到，在表示平面时，我们常把希腊字母α，β，等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如上图所示；当然也可以用代表平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，即：平面α，平面ABCD，平面AC。

师：我们可以这样理解：点动成线，线动成面。直线与平面都可以看成是点的集合。那么，一个点在直线上，或者在平面内应该如何表示呢？

生：......

师：直线与平面都可以看成是点的集合，那么点与直线或者平面的关系就可以看成是元素与集合之间的关系，而直线与平面之间的位置关系可以看成是集合与集合之间的关系。下表是分别用三种语言表示点与直线、平面之间的位置关系。

文字语言

点P在直线l上（或直线l经过点P）

图形语言

符号语言

Pl

点P在直线l外（或直线l不经过点P）

Pl

点A在平面α内（或平面α经过点A）

Aα

点A在平面α外（或平面α不经过点A）

Aα

师：接下来请同学们思考一下直线与平面有哪些位置关系？

生：......

师：刚才我们说了直线与平面都是点组成的集合，所以如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说直线l经过平面α，记作lα；否则，就说直线l在平面α外，记作lα。

那么我们应该如何保证直线l上的所有点都在平面α内呢？

生：......

师：接下来请同学们思考一下，如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l上的所有点是否都在在平面α内？（可以让学生利用直尺与桌面动手操作）

生：不在

师：那如果直线l与平面α有两个公共点呢？

生：在

师：下表所示就是我们刚才所讨论的直线与平面之间的位置关系。

文字语言

图形语言

符号语言

直线l在平面α外（直线l平行于平面α内）

l‖α

lα

直线l与平面α相交

l∩α=A

直线l在平面α内（直线l经过平面α）

lα

（设计意图：通过提问，引导学生思考，以表格的形式分别用三种语言表示点与直线、平面以及直线与平面之间的位置关系，直观具体，帮助学生熟练掌握三种语言）

师：我们前面讨论所得的结果就是公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内。用符号语言表示就是：Al，Bl，且Aα，Bα，lα。

师：公理1可以用来判断直线是否在平面内。（停顿）现在请同学们判断如下图所示的直线与平面是什么关系？

师：相信同学们都见过这样的现象：三角架可以牢固地支撑相机或测量仪的平板等等。这些事实可以归纳为如下的公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。用符号语言表示就是：A，B，C三点不共线，则存在唯一的平面α使A，B，Cα。这条公理刻画了平面特有的基本性质，同时它也给出了确定一个平面的依据。

师：下面是公理2的几条推论：

文字语言

图形语言

符号语言

已知点A和直线l，且Al，则存在唯一的平面α，使Aα，

且lα

已知直线l和直线l′相交于点O，则存在唯一的平面α，使

lα，l′α

已知直线l平行于直线l′，则存在唯一的

平面α，使lα，l′α

推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面

推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面

师：如图所示，不在一条直线上的三点A、B、C所确定的平面，可以记成平面ABC。

师：请同学们思考一下，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与课桌面所在的平面是否只相交于一点？为什么？

生：...... 师：观察如图所示的长方体，并思考两个平面相交应该是什么？

生：两个平面相交成直线。

师：非常好，我们把这条直线叫作两个平面的交线。

师：我们由此可以归纳得到公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过改点的公共直线。用符号语言表示就是：Pα，且Pβα∩β=l，且Pl。

师：现在请同学们仿照前面的方式将这三条公理用图形语言表示出来。

生：...... （设计意图：先将三个公理的内容及符号语言展示出来，然后让学生自己用图形语言表示三个公理，一方面帮助学生掌握三条公理，另一方面锻炼学生用图形语言表示点、线、面之间的位置关系，熟悉图形语言）

3、例题练习

例1、判断下面说法是否正确，并说明为什么。

（1）平面的形状是平行四边形；

（2）任何一个平面图形都可以表示平面；

（3）平面ABCD的面积是10cm2；

（4）空间图形中，后引的辅助线都是虚线。

解：（1）错误，平行四边形只是平面的一部分，它是不能无限延展的；

（2）正确，有时候可以根据情况，利用其他平面图形等表示平面；

（3）错误，平面是不可以计算面积的；

（4）错误，在空间图形中，一般把看得见的线画成是实线，看不见的线画成虚线，后引进的辅助线也是如此。

（设计意图：通过具体例题的练习，深刻理解空间平面的概念，掌握平面的基本性质，搞清平面与平面图形的区别与联系）

例2、根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形。

（1）Aα，Bα; （2）lα,m∩α=A,Al; （3）Pl，Pα，Ql，Qα。

（设计意图：通过具体例题的练习，熟练掌握文字语言、图形语言、符号语言及其相互转换）

例3、已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线a，b，c，d共面。

分析：四条直线两两相交包括四条直线中有三条相交于一点和四条直线中任何三条都不共点两种情况。

解：（1）当四条中有三条相交于一点时，如下图所示：

不妨设a，b，c相交于一点A，但是Ad，直线d分别交直线a，b，c点E，F，G，

由公理2的推论，直线d和点A确定一个平面，记为α，

则A，E，F，G均属于α，

⸪A，Eα且A，Ea ⸪aα

同理可得bα，cα，dα. ⸪直线a，b，c，d共面. （2）当四条直线中任何三条都不共点时，如下图所示

由于四条直线两两相交，四条直线中任何三条都不共点，由公理2的推论，可设直线a，b确定一个平面，记为α，

设直线c分别交a，b于点H，K，则H，Kα,H，Kc ⸪cα

同理可得dα

⸪直线a，b，c，d共面.

例4、已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C，求证：a，b，c，l共面。

解：如图所示

⸪a∥b ⸪由推论3可知a，b确定一个平面，记为α，

⸪l∩a=A，l∩b=B ⸪Aa，Bb，

⸪Aα，Bα，

而Al，Bl，

⸪由公理1可知lα. ⸪b∥c ⸪由推论3可知b，c确定一个平面，记为β，

同理可得lβ. 又⸪lα，bα，lβ，bβ，l∩b=B，

由推论2可知平面α与平面β重合

⸪a，b，c，l共面.

例5、如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=DH：HA=2：3。求证：EF，GH，BD相交于一点。

证明：⸪E，G分别为BC，AB的中点

⸪EG∥AC 又⸪DF：FC=DH：HA=2：3 ⸪FH∥AC ⸪FH∥EG ⸪E，F，H，G四点共面

又⸪AG：GB=1：1，AH：HD=3：2 ⸪AG：GB≠AH：HD ⸪GH与BD不平行

同理EF与BD不平行

⸪GH与EF不平行

设GH与EF相交于一点O 又⸪O在平面ABD内又在平面BCD内

⸪O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD ⸪O在直线BD上

⸪EF，GH，BD相交于一点.

（设计意图：帮助学生熟练掌握用三种语言表示空间点、线、面之间的关系，以及运用三条公理证明一些简单空间图形的位置关系）