复习参考题评课稿

三角恒等变换

cosα－β＝cos αcos β＋sin αsin βsinα－β＝sin αcos β－cos αsin β差角公式tan α－tan βtanα－β＝1＋tan αtan βcosα＋β＝cos αcos β－sin αsin βsinα＋β＝sin αcos β＋cos αsin β和角公式tan α＋tan βtanα＋β＝1－tan αtan βcos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinαsin 2α＝2sin αcos α倍角公式2tan αtan 2α＝1－tanα应用——三角函数式的求值、化简和证明，讨论三角

函数的性质22222

题型一

灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用

41例1

已知α、β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值．

53433解

∵α是锐角，cos α＝，∴sin α＝，tan α＝. 554tan α－tanα－β13∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝. 1＋tan αtanα－β9910∵β是锐角，故cos β＝. 50反思与感悟

给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换α，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·2

11α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等．

2211跟踪训练1

已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

27解

tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1π＝>0.而α∈(0，π)，故α∈(0，)．

21－α－ββ31π∵tan β＝－，0<β<π，∴<β<π.

721π∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0，∴－π<α－β<－. 22∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．

∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] tan α＋＝1－tan αα－β3π＝1，∴2α－β＝－. 4α－β题型二

整体换元的思想在三角恒等变换中的应用

例2

求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域．

解

令sin x－cos x＝t，

πx－知t∈[－2，2]，

则由t＝2sin4又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x

＝t＋1－t2

15t－2＋. ＝－2415当t＝时，ymax＝；

24当t＝－2时，ymin＝－2－1. 5－2－1，. ∴函数的值域为4反思与感悟

在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来．

跟踪训练2

求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值．

解

设sin x＋cos x＝t，

则t＝sin x＋cos x＝2πx＋，

＝2sin4∴t∈[－2，2]，

22sin x＋cos x

22

sin x＋cos x2－1t2－1∴sin x·cos x＝＝. 22∵f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x

t2－11∴g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－2，2]．

22当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1. π2x＋＝－，

此时，由sin42π解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z. 21当t＝2，即sin x＋cos x＝2时，f(x)max＝2＋. 2ππx＋＝2，sinx＋＝1. 此时，由2sin44π解得x＝2kπ＋，k∈Z. 4ππ综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，241k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝2＋. 2题型三

转化与化归思想在三角恒等变换中的应用

3x2sin x例3

求证：tanx－tan＝. 22cos x＋cos 2x3xsinxsin223x证明

∵左边＝tanx－tan＝－

223xcosxcos223xx3sinxcos－sincosx2222＝

x3coscosx22sin x2sin x＝＝

1cos x＋cos 2xcos 2x＋cos x2＝右边．

3x2sin x∴tanx－tan＝. 22cos x＋cos 2x反思与感悟

三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简．其中切化弦、异名化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思想的运用；三角恒等式的证明就是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简，左右归一或变更论证，也属转化与化归思想的应用．

31跟踪训练3

求证：2－2＝32sin 10°. sin40°cos40°

321证明

∵左边＝

2－sin 40°cos 40°23cos 40°2－sin 40°2＝

sin240°cos240°3cos 40°＋sin 40°3cos 40°－sin 40°＝

22sin40°cos40°31314×22×cos 40°＋sin 40°cos 40°－sin 40°2222＝

2sin 40°cos 40°216sin 100°sin 20°16sin 80°sin 20°16sin 20°＝＝＝

22sin80°sin80°sin 80°32sin 10°cos 10°＝＝32sin 10°＝右边．

cos 10°∴原式成立．

题型四

构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用

31例4

已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝. 55(1)求证：tan A＝2tan B. (2)设AB＝3，求AB边上的高．

31(1)证明

∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，

55sin Acos B＋cos Asin B＝5∴1sin Acos B－cos Asin B＝5sin Acos B＝5⇒1cos Asin B＝5∴tan A＝2tan B. 23

tan A⇒＝2. tan Bπ3(2)解

∵

25tan A＋tan B33∴tan(A＋B)＝－，即＝－. 441－tan Atan B将tan A＝2tan B代入上式并整理得

2tan2B－4tan B－1＝0 2＋62±6解得tan B＝，舍去负值，得tan B＝. 22∴tan A＝2tan B＝2＋6. 设AB边上的高为CD，

CDCD3CD则AB＝AD＋DB＝＋＝，

tan Atan B2＋6由AB＝3，得CD＝2＋6. ∴AB边上的高等于2＋6. 反思与感悟

方程(组)思想是中学重要的思想方法之一．借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值中常用的方法之一．

32tan α跟踪训练4

已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，则等于(

) 53tan β1A.

151C.

19答案

D 32解析

由已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，

533得sin αcos β＋cos αsin β＝，

52sin αcos β－cos αsin β＝－，

31两式分别相加减得sin αcos β＝－，

3019cos αsin β＝. 30tan αsin αcos β1∴＝＝－. tan βcos αsin β19

本章所学的重要的内容是三角恒等变换，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.

2B.

51D．－

19