复习参考题板书设计

《第一章

三角函数章末小结建议》教学设计

重庆市合川小沔中学 何毅

整体设计

本章网络结构

1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性. 2．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．

《三角函数》一章知识网络图

三维目标

1．通过全章复习，要求学生切实掌握三角函数的基本性质，掌握判定三角函数奇偶性，确定单调区间及求周期的方法．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及五组诱导公式，弄清1

公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．

2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图，掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明，会由已知y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的三角函数值求角．

3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数的基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想，激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新以及应用数学解决实际问题的能力．

重点难点

教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．

教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路.让学生先来阅读教材的小结，了解一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用．由此展开全章的系统复习．

推进新课

知识巩固

提出问题

①我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？

②本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？

③本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？

④你是如何得到正弦线、余弦线和正切曲线的？

⑤你能从图象上说出三角函数的哪些性质？

活动：问题①，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．

问题②，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是用角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．

sinαsin2α＋cos2α＝1，＝tanα. cosα2

问题③，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前学习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高．幻灯片如下：

公式一

sin(α＋k·2π)＝sinα，

cos(α＋k·2π)＝cosα，

tan(α＋k·2π)＝tanα，

其中k∈Z

公式四

sin(π－α)＝sinα，

cos(π－α)＝－cosα，

tan(π－α)＝－tanα

公式二

sin(π＋α)＝－sinα，

cos(π＋α)＝－cosα，

tan(π＋α)＝tanα

公式五

πsin(－α)＝cosα，

2πcos(－α)＝sinα

2公式三

sin(－α)＝－sinα，

cos(－α)＝cosα，

tan(－α)＝－tanα

公式六

πsin(＋α)＝cosα，

2πcos(＋α)＝－sinα

2问题④，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y＝Asin(ωx＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯片(如图1、图2、图3)：

图1

图2

图3 问题⑤，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调3

性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，应要牢固掌握，但不要死记硬背．

讨论结果：①～⑤略．

应用示例

例1已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sinα＋cosα的值．

活动：本例属于较为简单的题目，目的是要学生熟悉任意角的三角函数定义，也要明确解题中的一种很重要的方法是回归定义．教师引导学生思考距离与坐标的不同，是否需要对点的坐标进行分类讨论，然后让学生独立完成此题．

解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：

34①若角α终边过点P(4,3)，则2sinα＋cosα＝2×＋＝2；

55342②若角α终边过点P(－4,3)，则2sinα＋cosα＝2×＋(－)＝；

55534③若角α终边过点P(－4，－3)，则2sinα＋cosα＝2×(－)＋(－)＝－2；

55342④若角α终边过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα＝2×(－)＋＝－. 555点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P在角的终边上的位置无关．

变式训练

函数y＝cos(sinx)的值域是(

) A．[cos(－1)，cos1]

B．[－1,1]

C．[cos1,1]

D．[1，cos1] 答案：C 例2已知tan α＝－2，求：

（1）3cosα－sinα

3cosα＋sinα（2）sin2

α＋sin αcos α－2cos2

α

活动：教师引导学生观察本题的条件与结论，进一步点拨：根据同角三角函数的基本关系，不直接求sinα与cosα的值，需作怎样的变形即可，对看出本题由已知可得tanα＝－2的同学给予鼓励并作进一步探究，对看不出这一步的学生教师再给予进一步引导，直至其独立解出此题．

点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，4

在今后的学习中经常用到，应要求学生仔细体会并熟悉掌握．

变式训练

1已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝，求tanα的值．

5112解：由sinα＋cosα＝平方整理，得sinαcosα＝－<0. 525∵α为三角形的内角，

∴0<α<π，sinα>0，cosα<0. ∴sinα－cosα>0. 49∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，

257∴sinα－cosα＝. 51sin4sincos5,5由⇒

7sincoscos355,4∴tanα＝－. 3点拨：本题主要考查同角三角函数的基本关系式．对于三角求值题目，一定要注意角的范围，有时要根据所给三角函数值的大小，适当缩小所给角的范围，才能求出准确的值．教师要抓住时机就此进一步挖掘，以激起学生的探究兴趣．

例3化简：

π2x－，x∈R. 例4.已知函数f(x)＝2sin4(1)求函数f(x)的最小正周期；

π3π(2)求函数f(x)在区间8，4上的最小值和最大值．

总结：研究三角函数性质的常用方法 (1)周期：利用公式T＝2ππ或T＝. |ω||ω|sin(2-)cos(3)cos(3)2sin(-)sin(3-)cos(-)(2)比较大小：转化为同一单调区间解决问题．

(3)最值：利用单调性．

5

变式训练

π已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(

) 3ππA．关于点(，0)对称

B．关于直线x＝对称

34ππC．关于点(，0)对称

D．关于直线x＝对称

43答案：A

例5. 求函数y＝2sin(

)的单调增区间．

方法解读：

求与正、余弦函数有关的单调区间的策略

(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；

(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数求单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上．

课堂小结

提出问题让学生回顾总结，通过本节复习，系统掌握三角函数有关知识，你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．

作业

求函数y＝1－2cos2

x＋5sin x的最大值和最小值．

设计感想

1．本章复习课只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处．在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳的方法直接告诉学生．

2．加强学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供6

在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．

3．复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．

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