二次根式的混合运算课堂实录及点评

16.3《二次根式的混合运算》教教学设计

陈家湾中学

王艳芳

【教学目标】

1、知识与技能

在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算。

2、过程与方法

对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用；通过引导，在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法。

3、情感态度、价值观

通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，并且注意培养学生的类比思想。

【重难点】

重点：是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算。它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性，提高性综合学习；二次根式的运算和有理化的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。

难点：有关两个二次根式的和与这两个二次根式的差的积；两个二次根式的和或差的平方，联想乘法公式，与多项式的乘法相类似，二次根式的和相乘，适用乘法公式时，运用乘法公式解决相关计算题。

【教学过程】

一、自主学习

感受知识 学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算

（1）（2x+y）x

（2）（2x2y+3xy2）÷

x y

2．计算

（1）（2x+3y）（2x-3y）

（2）（2x+1）2 +（2x-1）2 问题1：

这些内容是对八年级上册整式运算的再现，它们分别是那些运算？

问题2：它们的运算律和运算顺序和实数的一致吗？分别是什么？

（预设结论：它主要有（1）单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用。有理数的混合运算及整式的混合运算运算律和运算顺序一致。）

问题3：如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？

二、聚焦主题

合作探究

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式。

探究1：运算律在二次根式混合运算中的应用 活动一：阅读教材第14页例3，相互交流思考下列问题

：

例3 计算: 3（46-32）÷22

8）×2

（2）

（1）（6—3

2 （

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．）

333解：（1）、（6-8）×2

=6×2—8×2 =12—4

3 33 =23—=

223

2问题1：第（1）小题第一步的依据是什么？第二步的根据是什么？第三步做了什么？为什么能合并？

(2)、（46-32）÷22=46÷22-32÷22 =23-问题2：第（2）小题第一步根据整式除法中的什么法则？第二步运算顺序是什么？包含了二次根式的什么运算？最后为什么没有合并？

探究2：多项式乘法法则及公式在二次根式混合运算中的应用 活动二：阅读教材第14页例4，相互交流思考下列问题

： 例4 计算

（1）（2+1）（2-1）

（2）（5+3）（5-3） （3）（2+32）（1-2）

(分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．)

解：（1）（2+1）（2-1)=（2）2 -12

= 2-1 =1 （2）（2—3）2 =（2）2 —2×

2

×3＋（3）2

=2—26+3=5—26

（3）（2+32）（1-2）=2—22+32—6=—4+2 问题1：第（1）、（2）小题的第一步的计算依据是什么？

问题2：第（3）小题的第一步的计算依据是什么？

活动三：同学们总结二次根式混合运算法则。

小结：1、二次根式运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方再乘除最后加减，有括号的先算括号里面的。

2、二次根式运算律与实数的运算律（分配律、结合律、交换律），运算法则及所有的乘法公式仍适用。

3、运算时能用公式的尽量用公式。

4、二次根式的结果要最简。

三、小试牛刀

展示反馈

(1) (8 +18)×6

(2) (48－27)÷3 (3) (2＋3)(2－5)

(4) (3+25)2

(5)（1-23）（1+23）-（23-1)2

(6) (2－3＋6)(2＋3－6) 问题：第（1）小题可以用几种方法解？

第（5）小题减去完全平方式要不要加括号？

第（6）小题谁是相同项，谁是相反相？

四、拓展延伸

提升能力

把下列各式的分母有理化

（1）2＋1 2－1

；

（2）

1－5

1＋5

问题：（1）a

乘以什么会得到整数？

（2）由例4第（1）小问的经验（2+1）（2-1)=1的结果受到启发，把分子与分母都乘以什么就可以使分母变成1。

小结：单独一项a的有理化因式是它本身a；如果出现和或差的形式，a＋b的有理化因式是a－b；a－b的有理化因式是a＋b。

五、课内小节

总结知识

通过本节课的学习，谈谈你有哪些收获？

（叫个别学生先说自己的收获，然后教师总结。）

六、教学反思

在教学设计中，仍然存在着对学情分析不足，主要是过高估计学生的学习能力，一方面本节课设计的题过多，另一方面对以前学过的知识的复习工作做的不够，导致后续的新知识的学习遇到不少麻烦。如对在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么?多项式与多项式的乘法法则是什么?什么是完全平方式?分别用式子表示出来。考虑到以前已经学过，自以为学生不存在困难，就没有重点分析，结果导致不少学生运用乘法公式做相关计算题时中出错严重。

6、在教学过程中，我的教学理念还没有及时更新，创新意识还不够。

7、在促进学生探索求知和有效学习方面还存在明显不足。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，经常为了完成教学任务而忽视这方面的引导。在本章中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试。如判断二次根式中字母的取值范围、选取有理化因式、选择不同的运算途径等都可以让学生进行探究和归纳。在二次根式的运算中我就直接告诉学生：加减运算时利用公式，乘除时利用公式，结果大部分学生并不接受。若能让学生在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高。

8、在学生的学习方面，也有值得反思的地方我班的学生在老师指导下学习数学方面的积极性并不差，但自主学习方面还存在着不足。遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强、作业只求完成率而不讲质量、学习的竞争意识和自我要求明显缺乏。

9、对学生学习数学还是做不到放手，总是大包大揽，总是说让学生合作探究，结果真正落实不够。