1.4 角平分线的性质教学设计

课题

教

学

目

标

第1课时

角平分线的性质

授课人

1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理的简单应用；

知识技能

2．掌握作已知角的平分线的方法. 数学思考

运用角平分线的性质定理及其逆定理进行简单的推理.

使学生能够利用角平分线的性质定理及其逆定理解决相问题解决

应问题.

在探究角的平分线的作法及性质的过程中，培养学生探情感态度

究问题的兴趣，获得解决问题的成功体验，增强解决问题的信心. 教学

角平分线的性质定理及其逆定理的推导过程. 重点

教学

角平分线的性质定理及其逆定理的简单应用. 难点

授课

新授课

课时

类型

教具

三角板、直尺、圆规(多媒体课件及几何画板) 教学活动

教学

师生活动

设计意图

步骤

1.如图1－4－15，点B到直线a的距离是线段__BC__的长度．

复习教学必须用到的知识点，为本课的学习做铺垫. 回顾

图1－4－15 图1－4－16 2.如图1－4－16，OD平分∠BOC，如果∠BOC＝120°，那么∠COD＝__60__°. 活动

【课堂引入】

通过动手操作，一：

拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好让学生感受到生活中创设

的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，数学无处不在，让他情境

你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后们很快投入到学习中导入

把纸片展开，你又看到了什么？

去. 新课

活【探究1】

角平分线的性质定理

让学生明确角动

如图1－4－17，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作平分线的性质二：

PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，试问PD与PE相等定理可以利用实吗？

“HL”判定定理践

PD＝PE.我们来证明这个结论：

证明两直角三探∵PD⊥OA，PE⊥OB，

角形全等得出究

∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 来，让学生明白

1

交在△PDO和△PEO中，

流

∠PDO＝∠PEO，新∠DOP＝∠EOP， 图1－4－知

OP＝OP，活动

三：

开放

训

练

体现

应用

活变式一

如图1－4－20，在△ABC中，∠C＝90°，∠在教材例题的基础动

ABC的平分线BD交AC于点D.若CD＝2 cm，则点D到上进行变式练习，三：

直线AB的距离是__2__cm. 让学生全面掌握角

2 17 ∴△PDO≌△PEO，∴PD＝PE. (引导学生从证明的角度，利用上节课直角三角形全等的方法去证明，完成对复习导入的操作步骤的补充) 结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

【探究2】

角平分线的性质定理的逆定理

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上吗？

如图1－4－18所示，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.若PD＝PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？

如图所示，过点O，P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中，

∵OP＝OP，PD＝PE， 图1－4－18 ∴Rt△PDO≌Rt△PEO，

∴∠AOC＝∠BOC，

∴OC是∠AOB的平分线，

即点P在∠AOB的平分线上．

(本探究实质也是直角三角形全等的证明，利用“HL”判定定理，得出两直角三角形的对应角相等．

结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

【应用举例】

例1 [教材P23例1] 如图1－4－19，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠1＝∠2.

(1)求证：点B在∠ADC的平分线上；

(2)求证：BD是∠ABC的平分线．

图1－4－19 角平分线的性质定理及其逆定理各自生成的条件，并加深了性质定理与其逆定理之间的区别与联系.

开放

训练

体现

图1－4－20

图1－4－21 应变式二

如图1－4－21是一个风筝骨架．为使风筝平用

衡，需使∠AOP＝∠BOP.我们已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD应满足__PC＝PD__，才能保证OP为∠AOB的平分线．

变式三

如图1－4－22，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，AD与EF垂直吗？证明你的结论．

解：AD⊥EF.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF. 在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE＝DF，AD＝AD， 图1－4－22 ∴Rt△ADE≌Rt△ADF，

∴∠ADE＝∠ADF.又∵DE＝DF，∴AD⊥EF. 【拓展提升】

例2 如图1－4－23，在△ABC中，∠C＝90°，AO，CO分别平分∠BAC和∠ACB，OD⊥AC于点D.若AB＝10，BC＝8，则OD＝__2__. 平分线的性质定理及其逆定理的应用，突出其构造、变化、解答数学问题的应用性，为学生打开计算之门、思维之路，让学生在变化中得到发展．

图1－4－23

图1－4－24 [解析] 如图1－4－24，连接OB.过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F.∵AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，OE⊥AB，OF⊥BC，OD⊥AC，∴OE＝OD＝OF.设OE＝OF＝OD＝R，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，由勾股定理，得AC＝6.∵S△ABC＝S△ABO＋S△ACO＋S△BCO，∴1111AC·BC＝AB·OE＋AC·OD＋BC·OF，即6×8＝6R2222＋8R＋10R，解得R＝2，∴OD＝R＝2. 例3 如图1－4－25，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝4，则△ABC的面积是__42__．

让学生独立深入思考，加深对知识的理解与运用，根据学生的掌握情况，进行针对性训练，提高学生对知识的应用能力．

3

图1－4－25

[解析] 连接AO，可知AO平分∠BAC，由角平分线的性质可知点O到AB，AC，BC的距离相等，把求△ABC的面积转化1为求△AOB，△AOC，△BOC的面积之和，即(AB＋AC＋2BC)·OD＝42. 例4 如图1－4－26，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，CE⊥AB于点E，交BD于点O，过点O作FG∥AB，交BC于点F，交AC于点G. 求证：CD＝GA. 活动

三：

开放

训练

体图1－4－26

图1－4－27 现

证明：如图1－4－24，∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2.

应∵∠BCD＝90°，∴∠1＋∠3＝90°. 用

∵CE⊥AB，∴∠BEO＝90°，∴∠2＋∠4＝90°，∴∠3＝∠4.

∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，∴OC＝DC. 过点D作DH⊥AB于点H.∵BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DC⊥BC于点C，∴DC＝DH.∵DC＝OC，∴OC＝DH.∵FG∥AB，∴∠6＝∠A.∵DH⊥AB，CE⊥AB，∴DH∥CE，∴∠ADH＝∠GCE.在△COG和△DHA中，∠6＝∠A，∠GCO＝∠ADH，CO＝DH，∴△COG≌△DHA，∴CG＝DA，∴CG－DG＝DA－DG，即CD＝GA. 活动

当堂训练：P24练习T1，T2. 四：

作业布置：P26习题1.4A组T1，T2，T3. 课堂

总【知识网络】

结

反思

当堂检测，及时反馈教学效果，以便查漏补缺. 形成知识网络结构，便于抓住要点. 4

【教学反思】

①[授课流程反思] 课堂引入时，教师注意引导学生动手制图(用尺规)，边画图边领会，认识角平分线的定义，同时使学生在实践操作中感知数学知识的相互连贯性．

②[讲授效果反思] 教学中要使学生重点把握角平分线的性质定理及其逆定理的区别与联系，同时也要求学生分清点到角的两边的距离是指这个点到角的两边的垂线段的长度，而不是过此点与角平分线垂直(或仅仅相交)的直线与角两边相交所得的线段的长度．

③[师生互动反思] 在教学中实现了师生互动，加深了学生对角平分线的性质定理及其逆定理的理解与记忆．

④[习题反思] 好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________

活动

四：

课堂

总结

反思

深入反思，快速提升教学能力，提高教学效果.

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