1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）教案（名师）

1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）

第1课时

一、教学目标

1 . 知识与技能：使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

2．过程与方法：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

3．情感、态度与价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点

1．重点：勾股定理的内容及证明。

2．难点：勾股定理的证明。

3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

三、教学过程

（一）、新课引入

已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？

（二）、探究定理

1、画一画：

让学生动手画一个直角边长为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的

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长是4，那么斜边（弦）的长是5。

2、做一做

（1）、如图，以这个直角三角形的三边为边作三个正方形，探究这三个正方形的面积之间有什么关系。

正方形

面积

思考：

问题1：这三个正方形的面积分别为多少？你是怎么求的？

P Q R 9 16 25 P R Q 问题2：这三个正方形的面积之间满足一个什么等式？ 问题3：正方形的面积等于边长的平方，那么它们的面积用边长代入得到一个什么等式？

问题4：我们前面说过：在直角三角形中，我们把较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦，那么勾股弦之间满足一个什么等式？

（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。这个三角形的三边也满足勾2+股2=弦2吗？

3、议一议

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

4、猜一猜

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，有a2＋b2=c2

【过渡语】

猜想的结论是否正确须经过严格论证。证明该结论很难，许多数学家经过艰辛的努力，已想出很多种巧妙的证法，下面让大家体验一下其中的一种证法：我国三国时期的数学家赵爽创造的一种证法。

5、探一探（小组活动）

⑴、请同学们拿出准备好的4个全等的直角三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，三边分别标好a,b,c，拼出一个边长为c 的正方形，利用面积相等进行证明（赵爽弦图，如图2）。

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DCbAcaB图2

【小组合作探究】，思考：

问题1：你拼的四边形是正方形吗？为什么？

问题2：图中分别有几个正方形？几个直角三角形？

问题3：大正方形由哪几个图形构成？

问题4：它们的面积之间满足什么样的关系？

问题5：分别怎么来表示它们的面积？

⑵、证明：如图2（赵爽弦图）所示，其等量关系为：

4S△+S小正=S大正

即

14×ab＋（b－a）2=c2，

2化简可证。

下图证明请同学们课后自己思考.

6、归纳总结

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，有a2＋b2=c2

我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢？

（1）《周髀算经》中西周的商高（公元一千多年前）发现了勾三股四弦五

这

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A c b B

a C

个规律

（2）西方毕达哥拉斯于公元前582～493时期发现了勾股定理；

（3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上．

（4）反思：公式变形：

c2=a2 + b2

b2 =c2-a2

a2=c2－b2

ca2b2ac2b2b=c2-a2说明：直角三角形的边长为正数，所以取算术平方根。

问题1：勾股定理对所有的三角形都适用吗？为什么？

问题2：勾股定理的条件是什么？结论是什么？

结论：勾股定理揭示了在直角三角形中已知任意二边可以求第三边。

（三）、勾股定理的应用

1、例题分析：

例1、如图4，在△ABC中，∠C＝90°，AB=17,AC=8，求BC的长。

分析：在这个直角三角形中，已知斜边和

条直角边，求另一条直角边。

根据勾股定

理可得 ABCBC=AB2AC2=17282=15 方法小结：利用勾股定理建立方程。

图4 2、练习：在一个直角三角形中有二边分别是3和4，那么另一边一定是5吗？（小组合作探究）

（四）、解决问题：

如图，在等腰三角形ABC 中，已知AB = AC = 13cm，BC = 10cm，AD⊥BC 于点D. 你能算出BC边上的高AD的长吗？

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解 在△ABC中，

∵ AB = AC = 13 ，BC = 10 ，AD⊥BC，

1∴ BD = BC = 5. 2在Rt△ADB中，由勾股定理得 AD2+BD2 =AB2

，

ADABBD13518812 .

故AD的长为12cm. （五）、小结：

1、本节课我们经历了怎样的过程？

2、本节课我们学到了什么？

3、学了本节课后我们有什么感想？

（六）、拓展练习：

如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_________cm2。

（七）、作业：

四、教学反思

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