3.3用坐标表示一次平移教学实录

3．3

轴对称和平移的坐标表示

第1课时

用坐标表示轴对称

1．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律．

2．利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y轴对称的图形．

重点

用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．

难点

找对称点的坐标之间的关系、规律．

一、创设情境，导入新课

引言：老北京的地图中，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，你能找到西直门的位置，说出西直门的坐标吗？学生指出西直门的位置，试着说出西直门的坐标．

用坐标表示轴对称，可以很方便地确定一个地方的位置，实际上在我们日常生活中应用非常广泛，这节课我们就来学习用点表示轴对称．

二、合作交流，探究新知

(1)在直角坐标系中画出下列已知点：

A(2，－3)；B(－1，2)；C(－6，－5)；D(，1)；

E(4，0)；F(0，－3)．

(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点．并填写表格．

(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？

12

归纳总结：

在平面直角坐标系中：

(1)关于x轴对称的点横坐标__________，纵坐标__________．点(x，y)关于x轴的对称点的坐标为__________．

(2)关于y轴对称的点横坐标__________，纵坐标__________．点(x，y)关于y轴的对称点的坐标为__________．

同步训练：

(1)点(－1，3)与点(－1，－3)关于____对称；点(2，－4)与点(－2，－4)关于____对称；

(2)点P(－5，6)与点Q关于x轴对称，Q点的坐标是______；

点P(－5，6)与点Q关于y轴对称，Q点的坐标是______；

(3)点A(a，－5)和点B(－2，b)关于x轴对称，则a＝______，b＝____．

三、运用新知，深化理解

例1 点A(2a－3，b)与点A′(4，a＋2)关于x轴对称，求a，b. 【分析】此题应根据关于x轴对称的两个点的坐标的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得2a－3与4相等，b与a＋2互为相反数．

解：由点A(2a－3，b)与点A′(4，a＋2)关于x轴对称得2a－3＝4，a＋2＝－b.所以a711＝，b＝－. 22【方法总结】在平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点的坐标规律：若A(x，y)与B(m，n)关于x轴对称，则有x＝m，y＝－n；若A(x，y)与B(m，n)关于y轴对称，则有x＝－m，y＝n；若A(x，y)与B(m，n)关于原点对称，则有x＝－m，y＝－n. 例2 如下图所示，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，4)，B(－3，1)，C(0，0)，作出△ABC关于x轴、y轴的对称图形．并写出对称点的坐标．

【分析】分别作点A，B，C关于x轴、y轴的对称点即可．

解：如图所示；A1(1，4)，B1(3，1)，A2(－1，－4)，B2(－3，－1)，C点关于x轴、y轴的对称点的坐标不变，均为(0，0)．

【方法总结】作对称图形应先确定对称点，再顺次连接各点即可．

例3 如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)，…，则点A2015的坐标为______．

【分析】从各点的位置可以发现A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)，A6(2，2)，A7(－2，2)，A8(－2，－2)，A9(3，－2)，A10(3，3)，A11(－3，3)，A12(－3，－3)，….仔细观察每四个点的横、纵坐标，发现存在着一定规律性．因为2015＝503×4＋3，所以点A2015在第二象限，纵坐标和横坐标互为相反数，所以A2015的坐标为(－504，504)．故填(－504，504)．

【方法总结】解决此类题常用的方法是通过对几种特殊情况的研究，归纳总结出一般规律，再根据一般规律探究特殊情况．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P97练习．

2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．

五、反思小结，梳理新知

1．引导学生归纳总结本节课的教学重点．

2．在平面直角坐标系中：

(1)关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点(x，y)关于x轴的对称点的坐标为(x，－y)．

(2)关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点(x，y)关于y轴的对称点的坐标为(－x，y)．

六、布置作业

1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．

2．教材P102习题3.3第1(1)，(2)题及第2题．

第2课时

用坐标表示平移

1．掌握坐标变化与图形平移的关系．

2．能利用点的平移规律将平面图形进行平移．

3．会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程．

重点

掌握坐标变化与图形平移的关系．

难点

利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题．

一、创设情境，导入新课

1．什么叫做平移？把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫

做平移．

2．平移后得到的新图形与原图形有什么关系？

平移后图形的位置改变，形状、大小不变．

上节课我们学习了用坐标表示轴对称，本节课我们继续研究坐标方法的另一个应用．

二、合作交流，探究新知

探究1 点的平移规律

如图，将点A(－2，－3)向右平移5个单位长度，得到点A1，在图上标出这个点，并写出它的坐标．把点A向左平移2个单位呢？把点A向上平移6个单位呢？把点A向下平移4个单位呢？

(－2，－3)横坐标＋――→5(3，－3) (－2，－3)横坐标－――→2(－4，－3) (－2，－3)纵坐标＋――→6(－2，3) (－2，－3)纵坐标－――→4(－2，－7) 下移4个单位上移6个单位左移2个单位右移5个单位

总结规律：

点的平移与点的坐标变化间的关系：

(1)左、右平移：

点(x，y)点(x，y)向右平移a个单位――→――→(x＋a，y) (x－a，y) 向左平移a个单位(2)上、下平移：

点(x，y)点(x，y)归纳：

左减（x－a，y）左右平移a个单位长度――→横变纵不变右加（x＋a，y）点(x，y)

上加（x，x＋b）上下平移b个单位长度――→纵变横不变下减（x，y－b）向上平移b个单位――→――→(x，y＋b) (x，y－b) 向下平移b个单位

1．在平面直角坐标系中，有一点P(－4，2)，若将点P：

(1)向左平移2个单位长度，所得点的坐标为____；

(2)向右平移3个单位长度，所得点的坐标为____；

(3)向下平移4个单位长度，所得点的坐标为____；

(4)向上平移5个单位长度，所得点的坐标为____；

2．在平面直角坐标系中，有一点P(－4，2)，(1)若将P先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得坐标为____；(2)若将P先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得坐标为____．

3．平面直角坐标系中有一点P(－2，3)沿坐标轴平移后达到点P′(5，7)，请问如何移动得到点P′？

探究2 利用点的平移规律将图形进行平移

问题1：如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是：A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)．

(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1，B1，C1，点A1，B1，C1坐标分别是什么？并画出相应的三角形A1B1C1；(2)三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系，为什么？(3)若三角形ABC三个顶点的横坐标都加5，纵坐标不变呢？

解：A1(－2，3)，B1(－3，1)，C1(－5，2)，即三角形ABC向左平移了6个单位长度，因此所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同．用类比的思想，把三角形ABC三个顶点的横坐标都加5，纵坐标不变，即三角形ABC向右平移了5个单位长度，因此所得三角形与三角形ABC的大小、形状完全相同．

问题2：如图，将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，猜想：三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？

解：用类比的思想，探究得到三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度．

问题3：如图，将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，同时纵坐标减去5，又能得到什么结论？

将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去 6，同时纵坐标减去5，分别得到的点的坐标是A2(－2，－2)，B2(－3，－4 )，C2( －5，－3 )，依次连接这三点，可以发现所得三角形可以由三角形ABC向左平移6个单位长度，再向下平移了5个单位长度．三角形的大小、形状完全相同．

问题4：通过前面问题的探究，你能总结图形上点的坐标的某种变化引起了图形怎样的平移吗？

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移b个单位长度．

三、运用新知，深化理解

例1 将点(1，2)向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的对应点的坐标是____．

【分析】向左平移1个单位，横坐标减1，向下平移2个单位，纵坐标减2，于是点(1，2)变为(0，0)．故答案为(0，0)．

【方法总结】根据平移前后图形的坐标关系：①上加下减(纵坐标变化)，左减右加(横坐标变化)；②正加负减，即向x(y)轴正方向平移，横(纵)坐标增加；负方向平移，横(纵)坐标减小．

例2 如图，将三角形ABC先向下平移5个单位，再向左平移3个单位得到三角形A′B′C′，求三角形A′B′C′的顶点坐标，并画出三角形A′B′C′.

【分析】按照点的平移规律求出平移后点的坐标，向下平移5个单位，即横坐标不变，纵坐标减5；向左平移3个单位，即纵坐标不变，横坐标减3，再画出图形即可．

解：用箭头表示平移，则有：A(3，5)→(3，0)→A′(0，0)，B(0，3)→(0，－2)→B′(－3，－2)，C(2，0)→(2，－5)→C′(－1，－5)．

画出三角形A′B′C′如上图．

【方法总结】画平移后的图形，应先求出平移后各关键点的坐标，再描点连线即可．

例3 在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形ABCD，点A的坐标是(0，2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是(

)

A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位

B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位

C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位

D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位

【分析】由点A(0，2)变化到点A′(5，－1)知横纵坐标的变化规律，可得出平移方向与距离，即由横坐标加5，纵坐标减3，得出此平移可以是先向右平移5个单位，再向下平移3个单位．故答案为B. 【方法总结】①可用排除法，对照备选选项，逐一分析，选择出正确答案；②由坐标定平移口诀：坐标变化定平移，横变纵定左右移，横坐标变大向右移，纵变横定上下移，纵坐标变大向上移，横变纵变两次移；③左右(上下)平移的距离，就是平移前后两点横(纵)坐标差的绝对值．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P99及P101练习．

2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．

五、反思小结，梳理新知

回顾本节课所学的主要内容，回答以下问题：

(1)点沿坐标轴方向平移后坐标的变化规律是什么？

(2)将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形做一次平移得到吗？请举例说明．

六、布置作业

1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．

2．教材P102习题3.3第1(3)，(4)及3，4题．