方差的应用板书设计

方差的应用

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

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了解加权平均数的意义和求法，会求实际问题中一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．

了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征．

了解极差和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征．体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．

从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度. 学习策略：

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二、学习与应用

在数据的收集、整理与描述的基础上探究数据的分析；

结合实际体会平均数、中位数和众数等统计量的统计意义. “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

1.抽样调查是指抽取一部分进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，要考察的全体对象成为 ，组成总体的每一个考察对象成为 ，被抽取的那些个体组成一个 ，样本中个体的数目成为 . 2. 四名同学的年龄分别是13,14,15,16，那么他们的平均年龄是 . 知识回顾——复习

要点梳理——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听

课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源

要点一、算术平均数和加权平均数

ID：#57720#409585

1x1+x2+x3++xn叫做这

n1n个数的 ，简称 ，记作x.计算公式为xx1+x2+x3++xn. n一般地，对于n个数x1、x2、x3、…xn，我们把要点诠释：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数a附近上、下波

动时，一般选用简化计算公式xxa.其中x为新数据的平均数，a为取定

1

的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据

的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 若n个数x1、x2、…xn的权分别是w1、w2、…、wn，则

x1w1x2w2...xnwnw1wn个数的 . 2...w叫做这n 要点诠释：（1）相同数据xi的个数wi叫做权，wi越大，表示xi的个数越多，“权”

就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的

简便运算. 要点二、中位数和众数

1.中位数的概念：将一组数据按照 的顺序排列，如果数据的个数是奇数， 则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据

的平均数称为这组数据的中位数. 要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这

组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.

2.众数的概念：一组数据中 的数据称为这组数据的众数. 要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止

一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别

联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为

重要.

区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波

动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用

中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没

影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，

可用众数来描述. 要点四、极差、方差和标准差

用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方

法得到的差称为 ，极差＝ － . 要点诠释：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差s2的计算公式是：

S2________________________

要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动

越 ；方差越小，数据的波动越 . （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新

数据的方差 . （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的

2

方差变为原来的 倍. 方差的算术平方根叫做这组数据的 ，用符号s表示，即：

一致.

要点五、极差、方差和标准差的联系与区别

；标准差的数量单位与原数据

联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．

区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了

一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定

性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用 ，在考虑到这组数据的

稳定性时用 . 要点六、用样本估计总体

在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方

差近似估计得到总体的平均水平或方差. 要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，

都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确. 样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.

典型例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完

课堂笔记或者其它补充填在右栏．更多精彩内容请学习网校资源ID：

成举一反三．#57733#409585

类型一、利用概念求平均数、中位数、众数

例1、某电冰箱专卖店出售容积为182L、185L、228L、268L四种型号的同一品牌的冰箱，

每出售一台，售货员就作一个记录，月底得到一组由15个268，66个228，18个185 和11个182组成的数据．

(1)这组数据的平均数有实际意义吗? (2)这组数据的中位数、众数分别是多少? (3)专卖店总经理关心的是中位数还是众数?

【总结升华】 举一反三：

【变式】数据1、2、4、4、3、5、l、4、4、3、2、3、4、5，求它们的众数、中位数和

平均数．

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类型二、利用三数——平均数、众数、中位数解决问题

例2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各

项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：

测试项目

测试成绩

甲

乙

丙

教学能力

85 73 73 科研能力

70 71 65 组织能力

64 72 84 (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；

(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定

每人的成绩，谁将被录用，说明理由．

【思路点拨】（1）运用求平均数公式1nx1+x2+x3++xn即可求出三人的平均成绩，

比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.

【总结升华】 举一反三：

【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，

测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的

10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?

例3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损)．

已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分．

(1)求该班80分和90分的人数分别是多少? (2)设此班30名学生成绩的众数为a，中位数为b，求ab的值．

【总结升华】 举一反三：

【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的

零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．

零花钱数额（元）

5 10 15 20 学生个数（个）

a

15 20 5 4

请根据图表中的信息，回答一下问题.

(1)求a的值；

(2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．

类型三、极差、方差与标准差

例4、（2012•河北）某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射

了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计

图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．

甲、乙两人射箭成绩统计表

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

甲成绩

9 4 7 4 6 乙成绩

7 5 7 a

7 （1）a＝_____；＝_______；

（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；

（3）①观察图，可看出______的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算

方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．②请你从平均数和方差的角度分析，谁将

被选中．

【思路点拨】（1）根据他们的总成绩相同，得出a＝30－7－7－5－7＝4，进而得出

＝30÷5＝6；（2）根据（1）中所求得出a的值进而得出折线图即可；（3）①观察

图，即可得出乙的成绩比较稳定；②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方

差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．

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【总结升华】 举一反三：

【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若

干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分) 甲

95 82 88 81 93 79 84 78 乙

83 75 80 80 90 85 92 95 (1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；

(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工

人参加合适?请说明理由．

类型四、统计思想

例5、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所

在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调

查结果绘成了如图所示的条形统计图．

(1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；

(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户．

【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再

根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭

月均用水量不超过7t的用户所占的百分比，再进一步估计总体．

【总结升华】

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三、测评与总结

要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．

现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的

测试．

知识点：数据的分析

测评系统分数： 模拟考试系统分数： 如果你的分数在85分以下，请进入网校资源ID：#57748#409585进行巩固练习.

我的收获

习题整理

好题

题目或题目出处

所属类型或知识点

分析及注意问题

成果测评

自我反馈

学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．

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错题

注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录．

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