二次根式的混合运算第一课时导学案

第十六章 二次根式

16.3 二根次式的加减

第2课时 二次根式的混合运算

学习目标

1. 掌握二次根式的混合运算的运算法则.（重点）

2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.（难点）

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问题1

单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc；

(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 问题2

多项式与单项式的除法法则是什么?

(ma+mb+mc)÷m=a+b+c

前面两个问题的思路是：

思考

若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？

讲授新课

一、二次根式的混合运算及应用

二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.

例1

计算：

(1)

836

（2）（

42-36）22

原式=4222-3622

=2-原式=8636

=4332

此处类比“多项式×多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.

归纳

二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.

33

2（变式题）计算

(1)（323）27+63；

0(2)（20163）+312-6.2633336

1+2333

32.

33.

归纳

有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.

例2

甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，

其中有一段路基的横断面设计为上底宽

42m ，下底宽62m，高6m的梯形，这段路基长

500 m，那么这段路基的土石方

(即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？

解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：

142622650022326500

526500

50003m3.

3答：这段路基的土石方为50003m

练一练

计算

326（1）86232

8（2）2212

222222

3232332二、利用乘法公式进行二次根式的运算

问题1、整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 平方差公式：aba-ba-b

22222222

完全平方公式：aba22abb2；a-ba2abb

222问题2、整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?

前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用哟

整式的乘法公式就是多项式×多项式

例3 计算

（1）5353

5322（2）32

23223222

53

=34342

743(3)324821843;324323243324330





a3a2bab(4).aabab

aabaabaabababab

b归纳

进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.

（变式题）计算

2017201920182018（2-3）（23）2（）（1223）（223）;

（2）223223

120183.22018

1

练一练

计算

3232323222

120077433

733(

1

) 22-1

； (

2

) 2-3

257

23

.

221222129422

23235757

57先用乘法交换律，再用乘法公式化简

三、求代数式的值。

例3

已知x31,y31

试求的x22xyy2值。

解：x22xyy2xy

2

把x31,y31，代入上式中，得：

原式=

=12 3131

2（变式题）已知x32,y32，求x3yxy3.

解：x32,y32；

xy323223；

xy3232311

222x3yxy3

xyxyxyxy2xy

212321



10

归纳

用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,x y,x-y,等的值，然后将所求代数式适当变形成知含

x+y,x y,x-y,

等式子，再代入求值.

拓展探究

在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如: 55735

7777思考

如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如：

等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？

根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？

例4

（1）1

32（2）4

511323232





451515132

514514

归纳

分母形如

manb

的式子，分子、分母同乘以

manb

的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.

（变式题）

归纳

解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知条件，再用乘法公式变形、代入求值即可.

练一练

课后作业