2.1.2 系统抽样教学设计和教学实录

系统抽样

【知识梳理】

1.系统抽样的概念

要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成 的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取 个体，得到所需要的样本的抽样方法．

2.系统抽样的步骤

【常考题型】

题型一 系统抽样的概念

[例1] (1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是(

) A．抽签法

B．随机数法

C．系统抽样法

D．以上都不对

(2)为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________. [解析] (1)上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N)号，符合系统抽样的特点．

1 200(2)根据样本容量为30，将1 200名学生分为30段，每段人数即间隔k＝＝40. 30

[类题通法] 系统抽样的判断方法

判断一个抽样是否为系统抽样：(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个*

体，(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样，(3)最后看是否等距抽样．

[对点训练] 某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的所有听众进行座谈，这是运用了 (

) A．抽签法

B．随机数表法

C．系统抽样法

题型二 系统抽样的设计

[例2] (1)某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级800名学生中抽50名学生800做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k＝＝16，即每1650人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是________。

[解析] ∵采用系统抽样方法，每16人抽取一个人，1～16中随机抽取一个数抽到的是7，∴在第k组抽到的是7＋16(k－1)，∴从33～48这16个数中应取的数是7＋16×2＝39. (2)某企业对新招的504名员工进行岗前培训，为了了解员工的培训情况，试用系统抽样的方法按照下列要求抽取员工，请你写出具体步骤．

①从中抽取8名员工，了解基本理论的掌握情况．

②从中抽取50名员工，了解实际操作的掌握情况．

[解] ①第一步，将504名员工随机编号，依次为001,002,003，…，503,504，将其等距分成8段，每一段有63个个体；

第二步，在第一段(001～063)中用简单随机抽样方法随机抽取一个号码作为起始号码，比如26号；

第三步，起始号＋间隔的整数倍，确定各个个体：将编号为26,26＋63,26＋63×2，…，26＋63×7的个体抽出组成样本．

②第一步，用随机方式给每个个体编号：001,002,003，…，503,504；

第二步，利用随机数表法剔除4个个体，比如剔除编号为004,135,069,308的4个个体，然后再对余下的500名员工重新编号，分别为001,002,003，…，499,500，并等距分成50段，每段10个个体；

第三步，在第一段001,002,003，…，010中用简单随机抽样方法抽出一个号码(如006)作为起始号码；

第四步，起始号＋间隔的整数倍，确定各个个体，将编号为006,016,026，…，486 [类题通法] 设计系统抽样应关注的几个问题

(1)系统抽样一般是等距离抽取，适合总体中个体数较多，个体无明显差异的情况；

(2)总体均匀分段，通常在第一段(也可以选在其他段)中采用简单随机抽样的方法抽取一个编号，再通过将此编号加段距的整数倍的方法得到其他的编号．注意要保证每一段中都

能取到一个个体；

(3)若总体不能均匀分段，要将多余的个体剔除(通常用随机数表的方法)，不影响总

解：(1)先把这253名学生编号000,001，…，252. (2)用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生．

(3)把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250. (4)分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段．每段含5名学生．

(5)以第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l. (6)从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．

这样就按1∶5的比例抽取了

题型三 简单随机抽样与系统抽样的综合问题

[例3] 某集团有员工1 019人，其中获得过国家级表彰的有29人，其他人员990人．该集团拟组织一次出国学习，参加人员确定为：获得过国家级表彰的人员5人，其他人员30人，如何确定人选？

[解] 获得过国家级表彰的人员选5人，适宜使用抽签法：其他人员选30人，适宜使用系统抽样法．

(1)确定获得过国家级表彰的人员人选：

①用随机方式给29人编号，号码为1,2，…，29；

②将这29个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签；

③将得到的号签放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀；

④从袋子中逐个抽取5个号签，并记录上面的号码；

⑤从总体中将与抽到的号签的号码相一致的个体取出，人选就确定了．

(2)确定其他人员人选：

第一步：将990名其他人员重新编号(分别为1,2，…，990)，并分成30段，每段33人；

第二步，在第一段1,2，…，33这33个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如3)作为起始号码；

第三步，将编号为3,36,69，…，960的个体抽出，人选就确定了．

(1)，(2)确定的人选合在一起就是最终确定的人选．

[类题通法] 系统抽样与简单随机抽样的区别和联系

1．区别

(1)系统抽样比简单随机抽样更容易实施，可节约抽样成本；

(2)系统抽样所得样本的代表性与具体的编号有关，而简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关．如果编号的个体特征随编号的变化呈一定的周期性，可能会使抽样的代表性很差；

(3)系统抽样的应用比简单随机抽样的应用更广泛，尤其是工业生产线上产品质量的检验，不知道产品的数量，因此不能用简单随机抽样．

2．联系

(1)将总体均分后的起始部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；

(2)与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的；

(3)与简单随机抽样一样是不放回的抽样；

(4)总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除再进行系统抽样．

[对点训练] 下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数：1 200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；

1 200抽样间隔：＝40；

30确定随机数字：取一张人民币，后两位数为12；

确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；

确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户

……

(1)该村委会采用了何种抽样方法？

(2)抽样过程存在哪些问题，试修改．

(3)何处是用简单随机抽样？

解：(1)系统抽样．

300(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔＝10，其他步骤相应30改为确定随机数字：取一张人民币，末位数为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12,12号为第二样本户．

(3)确定随机数字：取一张人民币，其末位数为2. 【练习反馈】

1．为了检查某城市汽车尾气排放执行情况，在该城市的主要

干道上抽取车牌末尾数字为5的汽车检查，这种抽样方法

为(

) A．抽签法

B．随机数表法

C．系统抽样法

D．其他方式的抽样

解析：符合系统抽样的特点．

2．从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中

随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码

间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能

是(

) A．5,10,15,20,25

C．1,2,3,4,5

B．3,13,23,33,43

D．2,4,6,16,32 解析：用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k，k＋d，k＋2d，k＋3d，k＋4d，其中d50＝＝10，k是1到10中用简单随机抽样方法得到的编号，因此只有选项B满足要求．

53．将参加数学竞赛的1 000名同学编号如下：0001,0002,0003，

…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽

样方法分成50个部分，如果第1部分编号为0001,0002，…，

0020，第1部分随机抽取的一个号码为0015，则抽取的第

40个号码为________．

解析：利用系统抽样的概念，若n部分中在第1部分抽取的号码为m，分段间隔为d，则在第k部分中抽取的第k个号码为m＋(k－1)d，所以抽取的第40个号码为0 015＋39×20＝0 795. 4．一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99.依编号

顺序平均分成10个组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系

统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组

随机抽取的号码为t，则在第k组中抽取的号码个位数字与

t＋k的个位数字相同，若t＝7，则在第8组中抽取的号码

应该是________．

解析：∵k＝8，t＝7，t＋k＝15，∴在第8组中抽取的号码是75. 5．为了了解某地区今年高一学生期末考试数学成绩，拟从参加

考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样

本．请写出用系统抽样抽取的过程．

解：(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15 000. (2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分含100个个体．

(3)在第一部分，即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56. (4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14 956，这样就得到一个样本容量为150的样本．