2.5.2 向量在物理中的应用举例第二课时教学设计

教学设计

2.5

向量的应用

三维目标

1．通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．理解并掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤．明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．

2．通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义．教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段．

教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．

教学难点：如何将实际问题化归为向量问题．

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算．这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何中的向量方法．

思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用．

推进新课

新知探究

一、向量在几何中的应用

1．证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的条件

a∥b

a＝λb

x1y2－x2y1＝0(b≠0)．

2．证明垂直问题，常用向量垂直的条件a⊥ba·b＝03．求夹角问题

x1x2＋y1y2a·b利用夹角公式cosθ＝＝222. |a||b|x1＋y1·x2＋y224．求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模

→|a|＝a·a＝x2＋y2或|AB|＝|AB|＝x2－x12＋y2－y12. 5．用向量处理其他代数或几何问题．

二、用向量法解决几何问题的“三步曲”

1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

3．把运算结果“翻译”成几何关系．

引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题．解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系．最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．即：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

这个“三步曲”用流程图表示为：

x1x2＋y1y2＝0.

应用示例

思路1

例1课本本节例2. 变式训练

1.如图1，连结平行四边形ABCD的顶点B至AD、DC边的中点E、F，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

图1 活动：为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系，教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形，测量AR、RT、TC的长度，让学生发现AR＝RT＝TC，拖动平行四边形的顶点，动态观察发现，AR＝RT＝TC这个规律不变，因此猜想AR＝RT＝TC.事实上，由于R、T是对角线AC上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系，只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可．又→→→因为AR、RT、TC、AC共线，所以只需判断AR，AT与AC之间的关系即可．探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论．第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR＝RT＝TC. →→→→→解：如图1，设AB＝a，AD＝b，AR＝r，AT＝t，则AC＝a＋b. →→由于AR与AC共线，所以，我们设r＝n(a＋b)，n∈R，

1→→1→→→→→→又因为EB＝AB－AE＝a－b，ER与EB共线，所以我们设ER＝mEB＝m(a－b)．因为AR2211→→＝AE＋ER，所以r＝b＋m(a－b)．

22m－11因此n(a＋b)＝b＋m(a－b)，即(n－m)a＋(n＋)b＝0. 22n－m＝0，1由于向量a、b不共线，要使上式为0，必须m－1解得n＝m＝. 3n＋＝0.2→1→→1→所以AR＝AC.同理TC＝AC. 33→1→于是RT＝AC，所以AR＝RT＝TC. 32.如图2，AD、BE、CF是△ABC的三条高．求证：AD、BE、CF相交于一点．

图2 →→→→→证明：设BE、CF相交于H，并设AB＝b，AC＝c，AH＝h，则BH＝h－b，CH＝h－c，→BC＝c－b. →→→→因为BH⊥AC，CH⊥AB，

所以(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，

即(h－b)·c＝(h－c)·b，化简得h·(c－b)＝0. →→所以AH⊥BC.所以AH与AD共线，即AD、BE、CF相交于一点H.

例2课本本节例3. 思路2

1如图3，已知在等腰△ABC中，BB′、CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值．

图3 活动：教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题．可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标．如果能比较方便的建立起平面直角坐标系，如本例中的图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？

教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成．

→解：建立如图3所示的平面直角坐标系，取A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，OA＝(0，

→→→a)，BA＝(c，a)，OC＝(c,0)，BC＝(2c,0)，

1→→13ca→因为BB′、CC′为两中线，所以BB′＝(BC＋BA)＝[(2c,0)＋(c，a)]＝(，)．同22223ca92a2→理CC′＝(－，)．因为BB′⊥CC′，所以－c＋＝0，a2＝9c2. 2244→→2222AB·ACa－c9c－c4所以cosA＝＝＝＝. →→a2＋c29c2＋c25|AB||AC|变式训练

→

如图4，在Rt△ABC中，已知BC＝a.若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：PQ与→→→BC的夹角θ取何值时，BP·CQ的值最大？并求出这个最大值．

图4 解：方法一：如图4. →→→→∵AB⊥AC，∴AB·AC＝0. →→→→→→→→∵AP＝－AQ，BP＝AP－AB，CQ＝AQ－AC，

→→→→→→∴BP·CQ＝(AP－AB)·(AQ－AC) →→→→→→→→＝AP·AQ－AP·AC－AB·AQ＋AB·AC

→→→→→→→＝－a2－AP·AC＋AB·AP＝－a2＋AP·(AB－AC) 1→→→→→→＝－a2＋PQ·BC＝－a2＋a2cosθ，故当cosθ＝1，即θ＝0，PQ与BC的方向相同时，BP·CQ2最大，其最大值为0. 方法二：如图5.

图5 以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

设|AB|＝c，|AC|＝b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ|＝2a，|BC|＝a. 设点P的坐标为(x，y)，则Q(－x，－y)，

→→∴BP＝(x－c，y)，CQ＝(－x，－y－b)，

→→BC＝(－c，b)，PQ＝(－2x，－2y)．

→→∴BP·CQ＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by. →→PQ·BCcx－by∵cosθ＝＝，∴cx－by＝a2cosθ.

2a→→|PQ||BC|→→→→→→∴BP·CQ＝－a2＋a2cosθ.故当cosθ＝1，即θ＝0，PQ与BC的方向相同时，BP·CQ最大，其最大值为0.

知能训练

课本本节练习2、3、4.

课堂小结

1．由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤，即“三步曲”．特别是这“三步曲”，要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度．

2．本节都学习了哪些数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点．

作业

课本习题2.5

3、4、6、7.