构建知识体系教学内容

嘉荫三中

八年级

数学学科上册教学互助提纲

授课时间：2019.5.7

主备人： 苏艳芬 审核人：

初二数学组 授课人：苏艳芬 课型：单元总结课

五步十环节教学互助学案

单元总授课时间

2019.5.7

课题

第十七章勾股定理构建知识体系 课型

结课

学习

1、知识技能：运用勾股定理进行最短路径等的计算，培养学 目标

生运算能力。

2、数学思考：让学生经历“回顾-体验-积累”的数学思考过程，体会知识的系统化

3、问题解决：感受数学知识的发生发展过程，培养学生的合作交流意识和探索精神。 4、情感态度：体会数形结合思想和方程思想在解决实际问题中的作用，体会勾股定理学习的重要性，发展学生学数学━用数学━爱数学的思想，体验数学与生活的密不可分 重点

运用勾股定理进行最短路径等的计算，培养学生运算能力。

难点

数形结合思想和方程思想在解决实际问题中的作用. 导学过程

导入：

1.回顾勾股定理之证明

2.欣赏勾股之魅力

师友交流：

交流的内容为前一天的预习作业。

预习作业内容如下：

一、

一.构建知识体系

交流预习

1.勾股定理

2.勾股定理的应用条件

3.勾股定理表达式的常见变形：

4.勾股定理的逆定理

5.勾股数

6.原命题与逆命题

1

相信自己 成功属我

二.体验勾股定理的运用

（一）、分类思想

1.已知:直角三角形的三边长分别是3,4,X,则X2= 2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,则BC=

(二)、方程思想

1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 米.

2、折叠问题 矩形ABCD的一边AD沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,则CF的长为

CM. EC的长为 CM. A D

E

B C F

2

嘉荫三中

八年级

数学学科上册教学互助提纲

授课时间：2019.5.7

主备人： 苏艳芬 审核人：

初二数学组 授课人：苏艳芬 课型：单元总结课

(三)、展开思想

1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？

2.如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

3

相信自己 成功属我

3.如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

4. 有一个圆柱,它的高为12cm,底面半径为3cm,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)

B

A

4

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八年级

数学学科上册教学互助提纲

授课时间：2019.5.7

主备人： 苏艳芬 审核人：

初二数学组 授课人：苏艳芬 课型：单元总结课

(四).勾股定理与最短距离问题

如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。

二、

互相探究

（—）师友探究：

师友组面向全班进行交流内容展示，接受其他师友组的质疑。

（注：此环节以学友先讲为主，但是学师占主导地位，学师补充或纠正学友讲的不完整或错误的地方，学师强调重点知识或提出疑惑问题，当然少不了对学友激励性为主的点评。展示师友交流的成果，向着“会做，做对，会讲，讲对”的目标前进，激励性的点评不仅对学友有促进作用，还对学师的语言组织表达能力有强化作用。）

（二）教师讲解：

（—）师友训练： 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路径长(π取3).

（二）教师提升：

（—）师友总结：

1、这节课我学会了…… 我懂得了……

我的学友（学师）表现的……

（二）教师归纳：

（—）师友检测：

下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（

）

A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10 D a=3,b=4,c=5 5

三、

分层提高

四. 总结归纳

五. 巩固反馈

相信自己 成功属我

（二）教师评价：

拓展作业

如图，一个牧童在小河的南2km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北11km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

小河

北

A

牧童

东

小屋

B

6

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八年级

数学学科上册教学互助提纲

授课时间：2019.5.7

主备人： 苏艳芬 审核人：

初二数学组 授课人：苏艳芬 课型：单元总结课

“勾股定理构建知识体系”教学设计 一、教学设计思路：

本节课是人民教育出版社义务教育数学课本八年级下册数学《勾股定理》单元总结。通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会利用方程、立体图形与平面图形之间的转化等重要的思想方法。本节课借鉴了美国教育家杜威的“在做中学”的理论和叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间”的思想，采用了五步十环节教学方法，整个探究学习的过程充满了师生之间，生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。组织有效的教学活动，鼓励学生积极参与，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。利用课件和投影辅助教学，以丰富学生的感性认识，增强直观效果，提高课堂效率。

二、五步十环节教案

课题

授课时间

第十七章勾股定理构建知识体系

5.7 课型

新授

授课人

苏艳芬

黑龙江省嘉荫县

学校

第三中学

1、知识技能：运用勾股定理进行最短路径等的计算，培养学 生运算能力。 2、数学思考：让学生经历“回顾-体验-积累”的数学思考过程，体会知识的系统化

教学目标

3、问题解决：感受数学知识的发生发展过程，培养学生的合作交流意识和探索精神。

4、情感态度：体会数形结合思想和方程思想在解决实际问题中的作用，体会勾股定理学习的重要性，发展学生学数学━用数学━爱数学的思想，体验数学与生活的密不可分 教学重点

教学难点

教学模式

教学方法

运用勾股定理进行最短路径等的计算，培养学生运算能力。

数形结合思想和方程思想在解决实际问题中的作用. 五步十环节 学具演示、合作交流、课件、实物投影仪辅助

7

相信自己 成功属我

教具

教学

步骤

几何体

学生活动

设计意图

发现美、体验美、感受美,陶冶情操

培养学生合作意识

发扬互助精神

交流合作可以激发每个学生参与，教师活动

导入：

1.回顾勾股定理之证明

勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明很感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。 1940年出版过一本《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，倾听

仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证欣赏

法。这是任何定理无法比拟的。在这数百种证明方法

一、

中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者

交

身份的特殊而非常著名。介绍勾股定理的两个最为精

流

彩的证明，分别来源于中国和希腊。

预

2.欣赏勾股之魅力

习

师友交流：

交流的内容为前一天的预习作业。

预习作业内容如下：

师友交流预习情一.构建知识体系

况，师友共同探究1.勾股定理

解决预习中出现2.勾股定理的应用条件

的困惑，如果学友

3.勾股定理表达式的常见变形：

没有问题，学师可

4.勾股定理的逆定理

以向学友提问，如

5.勾股数

果学友提出问题，

6.原命题与逆命题

学师帮学友理清

二.体验勾股定理的运用

思路，如果学师也

（一）、分类思想

解决不了可以向

21.已知:直角三角形的三边长分别是3,4,X,则X= 其他师友请教，仍

2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,则然解决不了的问

BC= 题请标注，准备全(二)、方程思想

班交流。

1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子

垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 米. A D E

B C

8

嘉荫三中

八年级

数学学科上册教学互助提纲

授课时间：2019.5.7

落实面向全体学生，学生可以主动地、主备人： 苏艳芬 审核人：

初二数学组 授课人：苏艳芬 课型：单元总结课

F 2、折叠问题 矩形ABCD的一边AD沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,则CF的长为 CM.EC的长为 CM. (三)、展开思想

1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？

2.如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

3.如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

富有个性地学习.

B

A

4. 有一个圆柱,它的高为12cm,底面半径为3cm,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值取3) (四).勾股定理与最短距离问题

如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。

9

相信自己 成功属我

发展师友组面向全班学生进行讲解交流的合情（一）师友探究：探究内容为上一环节师友交流的内内容，接受其他师推理容

友组的质疑。

(二)教师讲解：

此环节以学友先能力如果学生总结不全，教师补充. 讲为主，但是学师和语分类思想规律 占主导地位，学师言表1.直角三角形中，已知两边长,应分类讨论: 补充或纠正学友达能(1)这两边都是直角边时.(2)较大边是斜边时。

讲的不完整或错力，2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，误的地方，学师强培养二、避免遗漏另一种情况。

调重点知识或提互

学生方程思想规律

助

出疑惑问题，当然合作探

直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采少不了对学友激究

的团用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股励性为主的点评。

队精定理列方程。

展示师友交流的神. 展开思想规律

成果，向着“会做，1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成

做对，会讲，讲对”平面。

的目标前进，激励

2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。解题技巧：化折为直.长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短. 性的点评不仅对

学友有促进作用，

还对学师的语言

组织表达能力有

强化作用。

三、

（—）师友训练： 分

有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图.在学生独立完成

层

AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P 提

处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路径长(π

10 活学活

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数学学科上册教学互助提纲

授课时间：2019.5.7

用，通过练习进一主备人： 苏艳芬 审核人：

初二数学组 授课人：苏艳芬 课型：单元总结课

高

取3).

(二)教师提升：

师友互助交流本步优化学生思维，提高能力

1、通节课的收获，可以过总从知识点的易错（—）师友总结：

1、这节课我学会了…… 我懂得了……

我的学友（学师）表现的……

(二)教师归纳： 思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？

1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形. 2.在直角三角形中找出直角边，斜边. 3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.

结加点和难点、师友互深对助的闪光点、题型本节的解题思路以及蕴含的数学思想课知识的四. 总

结

归

纳

等方面进行总结。理学师注意指导学解；

友总结全面，对学2、巩友今后努力方向固所提出明确要求。请学思各组师友积极进想方行展示发言，学友法，先讲，学师补充，反馈其他师友进一步学习补充，全班共享收情获。

五. 巩

固

况。

师友先独立完成学生（—）师友检测：

下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的再集体核对，把错能在11

相信自己 成功属我

反

馈

是（

）

A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10 D a=3,b=4,c=5 (二)教师评价：

拓展作业

如图，一个牧童在小河的南2km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北11km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

小河

北

A

牧童

东

小屋

B

误的改正

教师的监控下完作业，能真实反应效果。

板书设计：第十七章勾股定理构建知识体系

分类思想规律 1.直角三角形中，已知两边长,应分类讨论: (1)这两边都是直角边时.(2)较大边是斜边时。

2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。

方程思想规律

直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，利用勾股定理列方程。

展开思想规律

化折为直.

三、点评：

我遵循以下原则：情境引入激发兴趣，学习过程体现自主，知识建构循序渐进，思想方法有机渗透。

1、注意评价内容的多元化

通过课堂中学生展示自己对所学内容的理解，交流对某一问题的看法，动手操作的表演，各种问题尝试解答等活动，使教师从学生思维活动、有关内容的理解和掌握，以及学生参与活动的程序等多层面地了解学生；

2、注重对学生学习过程的评价在整个教学过程中体现，通过对学生参与数学活动的程度、自信心、合作交流的意识以及独立思考的表现及时给予评价，并对学生中出现的独特的想法或结论给予鼓励性评价。

总之，通过本节课的学习不仅让学生掌握了勾股定理的相关知识，更通过他们的小组合

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初二数学组 授课人：苏艳芬 课型：单元总结课

作、主动探讨从而获取到新的知识，培养了学生分析、归纳、概括能力，也培养学生的创新意识和创造精神。

四.学情分析

知识基础：学生在七年级数学下册《三角形》一章的学习中，已经掌握了直角三角形有关性质，特别是直角三角形三个内角的关系，有了一定的研究图形的经验。而且在前面的学习中，学生已经历了探索和验证勾股定理的过程，又通过观察、操作、思考，充分认识了勾股定理的本质特征，获得了初步的数学活动经验，具备了一定的动手操作、合作交流和观察、分析的能力。在七年级数学上册《一元一次方程》中的解方程技能、八年级数学上册《整式的乘除》中完全平方公式的展开技能和八年级数学上册《实数》中对于无理数的认识，都对于本单元学习的计算和理解有重要的知识基础。勾股定理是在此基础上进行的后续学习，将从三边的角度进一步刻画直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。它的“贡献”很多，可以计算直角三角形的边长、斜边高，可以将无理数表示在数轴上等。它的学习也蕴含深厚的数学思想和文化，是图形运算的基础，为九年级学习《锐角三角函数》和《相似三角形》埋下重要的伏笔，勾股定理也可以将立体图形转化为平面图形进行研究。

生活经验：八年级的学生八年级的学生参与意识强，思维活跃，对于真实情境及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣。但心理上正处于青春叛逆和迷茫期，特别是普通校的学生，在这个学期极易厌倦学习，放弃梦想。所以本节课的设计我着重考虑如何激发和调动学生的兴趣。

本节课教师从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行应用的过程，重视培养学生的动手能力和创新精神，激发学生学习数学的热情，让学生在实践的过程中深化知识，达到复习并提升的作用。

五.设计亮点 1.自主课堂是本堂课的一大特色。本节课创设了丰富的活动情境，学生小组学习、勇敢展示，教学过程成了一个立体的动态过程。师生的共同活动中使数学发现与数学思想方法在课堂上呈螺旋上升，学生的情感、兴趣、意志在课堂上得到了较好的培养。在课堂中教师以“平等中的首席”的角色出现，这才是新课程观下的教师角色。动手实践、自主探索、合作交流贯穿课堂始终。

2.合作意识和合作能力的培养。

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相信自己 成功属我

3．数学应用意识的培养。作为数学教师,我们要培养学生用数学的眼光去观察和分析实际问题,提高对数学的兴趣,增强学好数学的信心,达到培养创新精神和能力的目的。让学生主动去探索、讨论,寻找问题解决的途径,用数学的方法和技术来处理实际模型,最终得出结论。

4．数学之美的渗透和数学思想的内化。教师引导学生去发现美、体验美、感受美,使学生的思维得到锻炼、智力得到开发、情操得到陶冶。将知识背后的数学文化思想进行弘扬，让学生透过现象，看到本质。

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