2.3.1 变量之间的相关关系教学内容概述

科目

数学

年级

高一

班级

时间

年

月

日

课题

2.3.1变量间的相关关系

第

课时

教学目标

利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及2回归方程系数公式的推导过程，利用电子表格求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解。

重点

利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。

难点

对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解，以及根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

教学过程：

（一）创设情境

导入新课 1、相关关系的理解 我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？ （让学生举例，教师总结） 如： 生：不是。师：能否举出反例？ 比如，年龄与身高。

生：身高与体重 生：教师水平与学生成绩。生：网速与下载文件所需时间 师：不妨以教师水平与学生成绩为例，学生成绩与教师水平有关吗？

生：有，一般来说，教师水平越高，学生成绩越好

师：即“名师出高徒”，名师一定出高徒吗？ 生：不一定。

即学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容

——变量间的相关关系。（板书）

生活中还有很多描述相关关系的成语，如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”

（二）初步探索，直观感知

1、根据样本数据利用电子表格作出散点图，直观感知变量之间的相关关系

师：在研究相关关系前，同学们先回忆一下：函数的表示方法有哪些？ 生：列表，画图象，求解析式。 师：下面我们就用这些方法来研究相关关系。请同学们看这样一组数据：

【探究】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？

年龄

23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 肪

生：随着年龄增长，脂肪含量在增加 师：有没有更直观的方式？生：画图 师生：用x轴表示年龄，y轴表示脂肪。一组样本数据就对应着一个点。由于数据比较多，我们借用电子表格来作图，请大家注意观察。（教师演示作图方法，学生观察）

这个图跟我们所学过的函数图象有区别，它叫作散点图。

2、判断正、负相关、线性相关

按照一对一的关系，直角边AC越小，斜边AB越小，当AC无限小时，AB跟AC可近似看作相等。求AC麻烦，不妨求AB生：60504030AByByA.它表示自变量x取值一定时，纵坐标的偏差。假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据: -2020C10BA20406080x100-10(x1,y1)(x2,y2)……(xn,yn)。当自变量x取xi-20ˆbxia（i=1，2，……，n），它与实际收集到的yi之（i=1，2，……，n）时，可以得到yˆiyi(bxia)（i=1，2，……，n）

间的偏差是yiy这样用n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为ˆ)，偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值yyˆ(yyiiii1i1nni，由于带绝对值计算不方便ˆi)(y1bx1a)2(y2bx2a)2(y3bx3a)2(ynbxna)2现在的问题就所以换成平方，Q(yiyi12n2n(xx)(yy)(xx)(yy)iinnii2i122i1(xix)bQna(ybx)(yy)inni122i1(xix)(xix)i1i1归结为：当a，b取什么值时Q最小。

将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值时 n2b(xx)(yy)xynxyiiiii12(xx)ii1nnni1n2xinxi121n1n（其中xxi，yyi） ni1ni1aybx推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”最小的方法叫“最小二乘法”。

3、利用电子表格的计算功能求出回归直线方程，并分析它的意义

利用最小二乘法就可以求出回归系数，进一步求出回归方程。下面我们具体操作一下。

我们先明确几个符号的含义：xi表示年龄，x1是23，x2是27，直到x14是61。i从1到14 ，

2yxyyx1ii2i表示年龄与脂肪的成绩，

表示年龄的平方

yi表示脂肪，是9.5，是17.8 。

n1n1nxxiyyixini1表示自变量年龄的平均数，ni1表示因变量脂肪的平均数，i1表示自变n2量的平方和，xyii1i表示自变量与因变量乘积的和。要求出 a，b，必须先求出这些量。由于计算量大，我们用EXCEL来计算。 【练习】求出下列各式的值（n=14）

x11= xyiyi= ni1ni1nnxy= xiii1nn2i= i1bxynxyiii1nnxi2nxi12 aybx= ˆbxa yˆ0.5765x0.448。求出回归直线方程有什么用通过计算，求出了a0.448,b0.5765

yˆ的值，

呢？知道x的值可以求y请同学们从表格中选取年龄x的一个值代入上述回归直线的方程，看看得出的数据与真实数值之间的关系。

学生代入检验

ˆ0.5765500.448y

29.272生；估计值是29.272，与实际值28.2有偏差， 师；为什么会出现这样的结果？

生：回归直线是估计出的，把a带入肯定有误差。

师：试预测某人37岁时，他体内的脂肪含量。并说明结果的含义。

学生代入计算

ˆ0.5765370.448y

20.882师：我们能不能说他的体内脂肪含量的百分比一定是20.882%,？

生：不能。只能说他体内的脂肪含量在20.90%,附近的可能性比较大

（四）线性回归分析思想在实际中的应用

我们利用回归直线对年龄与脂肪的关系做了上述分析，这种分析方法叫做线性回归分析。利用这种分析方法可以对生活中的很多问题进行分析与预测。下面请同学们自己动手解决这样一个问题

例2有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对销售热饮的影响,经过统计,

摄氏温度/℃

-5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数

156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表,

（1）画出散点图

（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律

（3）求回归方程

（4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数

（五）归纳总结，内化知识

1、回归直线方程的求法

①先判断变量是否线性相关

②若线性相关，利用公式计算出a、b

③利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测

2、思想方法：数形结合、归纳、类比、最小二乘法

（六）作业布置与板书设计：

收集本班男生的身高和体重的数据,并利用统计知识对收集到的数据进行分析与预测。

板书设计

教学后记

2.3.1变量间的相关关系

线性相关



回归直线ybxa

最小二乘法

例1