复习参考题ppt课件教学实录

三角函数-----小结与复习（学案）

一、学习目标

1.回顾本章基本概念及公式：任意角的概念、弧度制、任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系及诱导公式，三角函数的图像与性质及其应用，三角函数图像变换等。掌握常见问题的解法。

二、自主学习

1.自主构建知识网络

三、合作探究

专题一

三角函数的概念

三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．

αααcos ＝－cos ，试判定角属于第几象限．

[例1]

(1)设角α属于第二象限，222(2)求函数y＝3tan x＋3的定义域．

ππαπ解：(1)依题意得2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，所以kπ＋<

2422

αα当k＝2n(n∈Z)时，为第一象限角；

当k＝2n＋1(n∈Z)时，为第三象限角．

22αααcos ＝－cos ≥0，所以cos ≤0.

又222α所以应为第二、三象限角或终边落在x非正半轴上或y轴上．

2α综上所述，是第三象限角．

2(2)3tan x＋3≥0，即tan x≥－3. 3ππ所以kπ－≤x

α1．由α所在象限，判断角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的2α集合的几何意义，用数形结合的方法确定的所属象限；另一种方法就是将k进行2分类讨论．

2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．

专题二

同角三角函数的基本关系与诱导公式

在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．

2＋tan（θ－π）[例2]

已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．

1＋tan（2π－θ）2＋tan θ解：法一：由已知＝－4，所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2，

1－tan θ所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ＝

4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ4tan θ－tan2θ－38－4－31＝＝＝.

5sin2θ＋cos2θtan2θ＋14＋12＋tan θsin θ法二：由已知＝－4，解得tan θ＝2，即＝2，所以sin θ＝2cos θ，

cos θ1－tan θ所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝

cos2θ11cosθ＝2＝. 2＝2sinθ＋cosθtanθ＋152

归纳升华

三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1π＝sin2α＋cos2α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan 等；(3)若4kπ式子中有角，k∈Z，则先利用诱导公式化简．

2专题三

三角函数的图象及变换

三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．

πA>0，ω>0，|φ|<的一段图象．

[例3]

如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k2

(1)求此函数解析式；

(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？

3113－－－－＋－221222π－π＝π，

解：(1)由图象知A＝＝，k＝＝－1，T＝2×362222π1ππππ所以ω＝＝2.所以y＝sin(2x＋φ)－1.当x＝时，2×＋φ＝，所以φ＝. T26626π12x＋－1. 所以所求函数解析式为y＝sin62ππx＋，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短(2)把y＝sin x向左平移个单位得到y＝sin66π112x＋，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到y＝为原来的，得到y＝sin622π1sin2x＋6，

2ππ112x＋的图象向下平移1个单位，得到y＝sin2x＋－1的图象．

最后把函数y＝sin6622归纳升华

ymax－yminymax＋ymin2π1．求解析式的方法：A＝，k＝，ω＝，由“五点作图法”中方法令22Tωx＋φ＝0，

π3，π，π或2π求φ. 222．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．

专题四

三角函数的性质

三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．

π2x＋＋a＋1(其中a为常数)．

[例4]

已知函数f(x)＝2sin6(1)求f(x)的单调区间；

π0，时，f(x)的最大值为4，求a的值；

(2)若x∈2(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．

πππππ解：(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)26236ππππ3ππ－＋kπ，＋kπ(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋的单调增区间为6326262πkπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

3π2π＋kπ，＋kπ(k∈Z)．

所以函数f(x)的单调减区间为36ππππ7π12x＋≤1，

(2)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，所以－≤sin626662所以f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1，

ππππ(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，所以2x＝＋2kπ，所以x＝＋kπ，k∈Z. 6236πx＝＋kπ，k∈Z

所以当f(x)取最大值时，x的取值集合是x6归纳升华

1．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k单调区间求法策略：可把“ωx＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．

2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的值域和最值时，先求复合角“ωx＋φ”的范围，再利用y＝sin x的性质来求解．

四、学以致用

训练1

(1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；

π(2)已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈2，π，求α的正切值．

5训练2. 若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(

) 1312A.

55C.

1212B．－

55D．－

12π训练3.

将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图8象，则φ的一个可能取值为(

) 3πππA.

B.

C．0

D．－

44423π训练4.设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f6＝(

) 131A.

B.

C．0

D．－

222五、自主小测

1．cos 330°等于(

)

1133A.

B．－

C.

D．－

222232．已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tan x等于(

) 53434A．－

B．－

C.

D.

4343kππkππ3．已知集合M＝x|x＝2＋4，k∈Z，N＝{x|x＝＋，k∈Z}．则(

) 42A．M＝N

B．MN

C．

NM

D．M∩N＝∅

π2x＋的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(

) 4．为得到函数y＝cos35π5πA．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

12125π5πC．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

665．若sin2x>cos2x，则x的取值范围是(

) 3πππ5πA．{x|2kπ－

B．{x|2kπ＋

D．{x|kπ＋

之间的函数关系是(

)

ππA．h＝8cos t＋10

B．h＝－8cos t＋10 63ππC．h＝－8sin t＋10

D．h＝－8cos t＋10 667．已知sin α＝5，则sin4α－cos4α的值为________．

58．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.

9．函数f(x)＝|sin x|的单调递增区间是__________．

π2x－的图象为C，

10．函数f(x)＝3sin3π5π11－，内是增函数；

①图象C关于直线x＝π对称；②函数f(x)在区间121212π③由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. 3以上三个论断中，正确论断的序号是________．

参考答案

1．C 3332．D

[cos(π＋x)＝－cos x＝，∴cos x＝－<0，∵x∈(π，2π)，∴x∈(π，π)，

55244∴sin x＝－，∴tan x＝.] 532k＋13．B

[M＝xx＝π，k∈Z4

k＋2，N＝xx＝π，k∈Z4

.比较两集合中分式的分子，知前者为奇数π，后者是整数π.再根据整数分类关系，得MN.选B.] ππ5π5ππ2x＋＝sin＋2x＋3＝sin2x＋＝sin2x＋. 4．A

[∵y＝cos362125π5π2x＋的图象只需将y＝sin 2x向左平移个单位长度．] 由题意知要得到y＝sin6125．D

[

sin2x>cos2x⇔|sin x|>|cos x|.在直角坐标系中作出单位圆及直线y＝x，y＝－x，根据三角函数线的定义知角x的终边应落在图中的阴影部分，故应选D.] 6．D

[据题意可设y＝10－8cos ωt(t≥0)．由已知周期为12 min，可知t＝6时到达最高点，π即函数取最大值，知18＝10－8cos 6ω，即cos 6ω＝－1.∴6ω＝π，得ω＝.∴y＝10－8cos 6πt(t≥0)．] 637．－

513解析

sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－. 5538.

2π2π3解析

由图象可知三角函数的周期为T＝4×＝，∴ω＝. 3ω2πkπ，kπ＋，k∈Z

9.2π解析

f(x)＝|sin x|的周期T＝π，且f(x)在区间[0，]上单调递增，∴f(x)的单调增区间为[kπ，2πkπ＋]，k∈Z. 210．①②

11π11π－π＝3sin3π＝－3，∴x＝11π为对称轴；

解析

①f＝3sin3126212πππ5ππππ－，内单调递增，故函数f(x)在②由－

1212πx－，

③∵f(x)＝3sin26ππx－的图象，得不到图∴由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)＝3sin233象C.