探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学内容分析

1.4.1三角函数的图像与性质

学习目标：1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法. 2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. 3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．

一、问题导学

知识点一

利用正弦曲线画正弦函数的图象

思考1

用描点法画y＝sin x在[0,2π]上的图象如何操作？难点是什么？

思考2

如何精确地得出y＝sin x在[0,2π]上的图象？

1．可以利用单位圆中的________线作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．

2．y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向____、____平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．

π3．把y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，即可得到y＝cos x，x∈R的图象．

2知识点二

正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图

思考

你认为哪些点是y＝sin x，x∈[0,2π]图象上的关键点？

画正弦函数图象的五点

画余弦函数图象的五点

步骤：

(1)列表

x sin x cos x (2)描点

画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是

________________________________；

0

0

1

π

21

0

π

0

－1

3π

2－1

0

2π

0 1 (__，0)

π，1

2π，0

2(____，0)

3π，－1

23π，0

2(____，0) (__，1)

(__，－1)

(____，1)

画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是

________________________________. (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线、余弦曲线的简图．

二、问题探究

类型一

“五点法”作图的应用

例1

利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．

反思与感悟

作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．

跟踪训练1

利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图．

类型二

正弦函数、余弦函数图象的简单应用

应用1

解不等式问题

例2

求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．

反思与感悟

一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．

跟踪训练2

求函数f(x)＝lg cos x＋25－x2的定义域．

类型三

方程的根(或函数零点)问题

例3

在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．

反思与感悟

三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．

跟踪训练3

若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围．

三、当堂训练

1．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(

) π1π，

B.，1

C．(π，0)

D．(2π，0) A.6222．下列图象中，是y＝－sin x在[0,2π]上的图象的是(

)

13．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．

24．函数y＝2sin x－1的定义域为________．

5．在[0,2π]内用五点法作出y＝－sin x－1的简图．

四、规律与方法

1．正弦曲线、余弦曲线在研究正弦函数、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．

2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．

提醒：完成作业

1.4.1