2.1.2 系统抽样教学评价实录

2.1.2

系统抽样

【教学目标】

1．理解和掌握系统抽样．

2．会用系统抽样从总体中抽取样本．

3．能用系统抽样解决实际问题．

【教学过程】

[情境导学]

大家都知道盲人摸象的故事，四个盲人在庞大的大象面前，每人只摸了大象的一个部位，就都有了对大象与众不同的认识．在他们争得面红耳赤，不可开交时，有一智者对他们建议，要他们每个人按一定的间隔从左到右、从上到下去摸大象，结果每个人都得到了大象的正确形象，你知道这是一种什么方法吗？

探究点一

系统抽样的基本思想

思考1

某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查，除了用简单随机抽样获取样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？(分组讨论) 答

可以将这500名学生随机编号1～500，分成50组，每组10人，第1组是1～10，第二组11～20，依次分下去，然后用简单随机抽样在第1组抽取1人，比如号码是2，然后每隔10个号抽取一个，得到2,12,22，…，492.这样就得到一个容量为50的样本，这种抽样方法称为系统抽样．

思考2

阅读教材58页，你能归纳系统抽样的定义吗？

答

一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．

例1

下列抽样中不是系统抽样的是(

) A．从标有1～15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i，以后为i＋5，i＋10(超过15则从1再数起)号入样

B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验

C．搞某一市场调查，规定在商场新门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止

D．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈

答案

C

解析

C不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的比例入样．

反思与感悟

解决该类问题的关键是掌握系统抽样的特点及适用范围．

跟踪训练1

系统抽样适用的总体应

(

)

A．容量较小

B．容量较大

C．个体数较多但不均衡

D．任何总体

答案

B 探究点二

系统抽样的一般步骤

思考1

用系统抽样从总体中抽取样本时，首先要做的工作是什么？

答

将总体中的所有个体编号．

思考2

如果用系统抽样从505件产品中抽取50件进行质量检查，由于505件产品不能均衡分成50部分，对此应如何处理？

答

先从总体中随机剔除5个个体，再均衡分成50部分．

思考3

用系统抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，要平均分成多少段，每段各有多少个号码？

N答

要平均分成n段，如果N能被n整除，每段各有个号码；如果N不能被n整除，n可以从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被n整除，所以每段的N个数为的整数部分．

nN思考4

将含有N个个体的总体抽取容量为n的样本，平均分成的整数部分段，每段的号n码个数称为分段间隔，那么分段间隔k的值如何确定？

N答

总体中的个体数N除以样本容量n所得的商的整数部分，即k＝n. 思考5

用系统抽样抽取样本时，每段各取一个号码，其中第1段的个体编号怎样抽取？以后各段的个体编号怎样抽取？

答

用简单随机抽样抽取第1段的个体编号．在抽取第1段的号码之前，自定义规则确定以后各段的个体编号，通常是将第1段抽取的号码依次累加间隔k. 思考6

一般地，用系统抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其操作步骤如何？

答

第一步，将总体的N个个体编号．

第二步，确定分段间隔k，对编号进行分段．

第三步，在第1段用简单随机抽样确定起始个体编号l.

第四步，按照一定的规则抽取样本．

思考7

系统抽样适合在哪种情况下使用？与简单随机抽样比较，哪种抽样方法更使样本具有代表性？

答

总体中个体数比较多；系统抽样更使样本具有代表性．

例2

某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．

解

按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5＝59，我们把295名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，59组是编号为291～295的5名学生．采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为k＋5l(l＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当k＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293. 反思与感悟

(1)解决系统抽样问题的两个关键步骤：

①分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．

②起始编号的确定应用随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．

(2)当总体中的个体数不能被样本容量整除时，需要在总体中剔除一些个体．

跟踪训练2

从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是

(

) A．5,10,15,20,25

C．1,2,3,4,5

答案

B 解析

用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k，k＋d，k＋2d，k＋3d，k＋4d，其中d＝50/5＝10，k是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满足要求，故选B. 例3

为了解参加某种知识竞赛的1 000名学生的成绩，从中抽取一个容量为50的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．

解

适宜选用系统抽样，抽样过程如下：

(1)随机地将这1 000名学生编号为1,2,3，…，1000. (2)将总体按编号顺序均分成50部分，每部分包括20个个体．

(3)在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l. (4)以l为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：l，l＋20，l＋40，…

，l＋980. 反思与感悟

系统抽样又称等距抽样，要求总体中不能含有一定的周期性，否则其样本的代表性是不可靠的，甚至会导致明显的偏向．

B．3,13,23,33,43 D．2,4,6,16,32

跟踪训练3

某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施．

解

(1)将每个人编一个号，由0001至1003. (2)利用随机数表法找到3个号将这3名工人剔除．

(3)将剩余的1 000名工人重新编号0001至1000. 1 000(4)分段，取间隔k＝＝100，将总体均分为10组，每组100个工人．

10(5)从第一段即0001号到0100号中随机抽取一个号l. (6)按编号将l,100＋l,200＋l，…，900＋l共10个号选出．

这10个号所对应的工人组成样本．

【当堂测、查疑缺】

1．某商场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张如15号，然后按顺序往后将65号，115号，116号，……发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是

(

) A．抽签法

B．随机数法

C．系统抽样法

D．其他的抽样法

答案

C 解析

上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组中抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n为自然数)号，符合系统抽样的特点．

2．为了解1 200名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔k为

(

) A．10

C．30

答案

C 1 200解析

分段间隔k＝＝30. 403．为了了解参加一次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为(

) A．2

答案

A 解析

由1 252＝50×25＋2知，应随机剔除2个个体．

4．某会议室有50排座位，每排有30个座位．一次报告会坐满了听众．会后留下座号为15的所有听众50人进行座谈．这是运用了

(

) A．抽签法

C．系统抽样

B．随机数法

D．有放回抽样

B．3

C．4

D．5 50

B．20 D．40 的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是

答案

C 解析

从第1排到第50排每取一个人的间隔人数是相同的，符合系统抽样的定义．

5．有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为

A．5,10,15,20

C．2,4,6,8

答案

A 解析

将20分成4个组，每组5个号，间隔等距离为5. 【呈重点、现规律】

1．体会系统抽样的概念，其中关键因素是“分组”，否则不是系统抽样．系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，因为这时采用简单随机抽样显得不方便．

2．解决系统抽样问题的两个关键步骤为

NN(1)用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取k＝n，即先从总体中用简单随机抽n样的方法剔除N－nk个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．

【课堂小结】

1．系统抽样的概念

先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔依次抽取即得到所求样本．

2．系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，步骤为：

(1)先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．

NN(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝；

nn(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；

(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．

(

)

B．2,6,10,14 D．5,8,11,14 3．系统抽样的优点是简单易操作，当总体个数较多的时候也能保证样本的代表性；缺点是对存在明显周期性的总体，选出来的个体，往往不具备代表性．从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想．