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浅谈三角求值问题

三角求值问题是三角恒等变换的重要组成部分，近些年来三角恒等变换是高考的热点之一，因此掌握好三角求值问题的相关知识点，解题思路，审题方法是我们备战高考不可忽视的内容。三角求值问题主要分为两类：“求值”和“求角”。求值，又分为给角求值和给值求值两类。

一、“求值”问题

三角恒等变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等三角公式的熟记和灵活应用，要善于发现角与角之间的关系，发现所给条件与恒等变换之间的关系。公式的使用过程一定要注意正确性，特别注意符号和函数名的变化，避免出现混乱的应用。

例1设acos50cos127cos40cos37，b2sin56cos562，1tan239c，则a,b,c的大小关系是（）。

1tan239分析：关于a，观察可发现504090,1273790，所以可以利用两角差的余弦公式将其化简；关于b，是2sin45cos45与同角不同名的差的积，可逆用差2sin39角公式。关于c，由于分子分母都有平方项，因此可以先利用同角三角公式tan39

，cos39sin239cos2391将其化简，再利用二倍角的余弦公式

。

解析：acos50cos127cos40cos57cos50127cos77sin13

b2sin56cos56cos45sin56sin45cos56sin5645sin11

2sin239121tan239cos239sin239cos39ccos78sin12

2222sin391tan39cos39sin391cos239因为在x0,区间内函数ysinx单调递增，所以bca. 2给角求值的关键是从角入手，解题时一定要注意角的取值范围，掌握拆角的技巧，同时熟记公式，防止因公式不对而出现错误。

例

2

已知sin1cos，则cos2

。

336

分析：仔细观察可发现22这样一个二倍角关系，已知条件可通过变36换求得sin的值。

6解析：sin131coscossincossin，

22636

sin1，

63

cos27212sin369

给值求值的关键是找出已知角与所求角之间的关系及三角函数名称的差异，一般适当变换已知式，求得另外某些三角函数值，以备应用，同时可以适当变换未知式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的。

二、“求角”问题

在解决求角问题的时候主要分为三步：1、确定所求角求值的函数名，这需要根据角的取值范围来确定；2、进一步确定角的取值范围，要将所求角的取值范围尽可能的缩小，避免产生增根的情况；3、得出所求角的大小。

例

3

已知sin25103,sin,且,，,，则51042的值

。

分析：由于5，进一步可确定

,，所以可得,,sin254245,2，在第三、四象限，因此确定求cos的值。由于42，因此可利用和角公式将的余弦值求出。

解析：sin250，,，2,. 54225，且,2.54

s

co2又sin

103,,,102

cos310.10

coscos2coscos2sinsin2310251051055

10

302522,502

5,2,4

7.4

在求角的某一些三角函数值时要根据已知条件所确定的角的取值范围来确定所求三角函数的种类，比如一、二象限角求余弦、正切，一、四象限角求正弦、正切，二、三象限角求正弦、正切，三、四象限角求余弦、正切。

总之，在解决三角求值问题时，我们不仅需要牢记三角函数相关公式，以及它们的变形式，还需要注意观察角与角之间的关系，角的取值范围。