探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学评价实录

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈R

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示：

x 0－φ

ω0

0

π－φ2

ωπ

2A π－φ

ωπ

0

3π－φ2

ω3π

2－A 2π－φ

ω2π

0 振幅

A 周期

2πT＝

ω频率

1ωf＝＝

T2π相位

ωx＋φ

初相

φ

ωx＋φ

y＝Asin(ωx＋φ)

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：

【知识拓展】

φ1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长ω度．

π2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k2∈Z确定其横坐标．

【思考辨析】

1 / 17s

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) πππx－的图象是由y＝sinx＋的图象向右平移个单位得到的．(

√

) (1)y＝sin442(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(

×

) (3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(

×

) 2π(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.(

×

) ω1(5)把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式21为y＝sin x.(

×

) 2(6)若函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T.(

√

) 2

1π1．(教材改编)y＝2sin(x－)的振幅，频率和初相分别为(

) 23πA．2,4π，

31πC．2，，－

4π3答案

C 1ω1π解析

由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－. T2π4π3π4x－的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(

) 2．(2015·山东)要得到函数y＝sin3πA．向左平移个单位

12πC．向左平移个单位

3答案

B ππ4x－＝sin4x－，

解析

∵y＝sin312ππ4x－的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位．

∴要得到y＝sin312π3．(2017·青岛质检)将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得10各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(

) πB．向右平移个单位

12πD．向右平移个单位

31πB．2，，

4π3πD．2,4π，－

32 / 17s

πA．y＝sin(2x－)

101πC．y＝sin(x－)

210答案

C πB．y＝sin(2x－) 51πD．y＝sin(x－) 220π横坐标伸长到1π解析

y＝sin x――――→y＝sin(x－)．

y＝sin(x－10)―原来的2倍210右移π个单位104．若函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0)的部分图象如图所示，则ω等于(

)

A．5

C．3

答案

B ππ2π2π解析

由函数图象知T＝×2＝，ω＝＝＝4. 42Tπ2π5．若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小4正值是________．

答案

3π

8B．4 D．2 πππ解析

∵函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋444－2φ)，

ππ又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，

42kππ∴φ＝－－(k∈Z)．

283π当k＝－1时，φ取得最小正值. 8

题型一

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

πω>0，|φ|<在某一个周期内例1

(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)2的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

3 / 17s

ωx＋φ

x Asin(ωx＋φ)

0

0

π

2π

35

π

3π

25π

6－5

2π

0 (1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2) 将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)5π图象的一个对称中心为12，0，求θ的最小值．

π解

(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：

6ωx＋φ

x Asin(ωx＋φ)

π2x－. 且函数解析式为f(x)＝5sin6π2x－，

(2)由(1)知f(x)＝5sin6π2x＋2θ－. 得g(x)＝5sin6因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. πkππ令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z. 62125π由于函数y＝g(x)的图象关于点12，0成中心对称，

kππ5πkππ所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z. 2121223π由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值. 6引申探究

π在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式，6并写出g(x)图象的对称中心．

π解

由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，

6πππ因此g(x)＝5sin[2(x＋)－]＝5sin(2x＋)．

6660

π

120

π

2π

35

π

7π

120

3π

25π

6－5

2π

13π

120 4 / 17s

因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. πkππ令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z. 6212kππ即y＝g(x)图象的对称中心为(－，0)，k∈Z. 212思维升华

(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，π3设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描22点后得出图象．

(2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，π再把所得函数图象向左平移个单位，得到的函数图象的解析式是(

) 4A．y＝cos 2x

πC．y＝sin(2x－)

4答案

A 解析

由y＝sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的ππ解析式为y＝sin 2x，再向左平移个单位得y＝sin2(x＋)，即y＝cos 2x. 44题型二

由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

π例2

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分如图所示．

2B．y＝－sin 2x

πD．y＝sin(2x＋) 4

(1)求f(x)的表达式；

(2)试写出f(x)的对称轴方程．

解

(1)观察图象可知A＝2且点(0,1)在图象上，

1∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝. 2ππ∵|φ|<，∴φ＝，

2611又∵π是函数的一个零点且是图象递增穿过x轴形成的零点，

125 / 17s

∴11ππω＋＝2π，∴ω＝2. 126π∴f(x)＝2sin(2x＋)．

6ππ(2)设2x＋＝B，则函数y＝2sin B的对称轴方程为B＝＋kπ，k∈Z，

62ππ即2x＋＝＋kπ(k∈Z)，

62kππ解得x＝＋

(k∈Z)，

26π∴f(x)＝2sin(2x＋)的对称轴方程为

6kππx＝＋(k∈Z)．

26思维升华

求y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)解析式的步骤

(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝2π(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝. T(3)求φ，常用方法如下：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一π点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；2“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx3π＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.

2π

(2016·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，2π则y＝f(x＋)取得最小值时x的集合为(

) 6M－mM＋m，B＝. 22

πA．{x|x＝kπ－，k∈Z} 6πB．{x|x＝kπ－，k∈Z} 3πC．{x|x＝2kπ－，k∈Z} 6

6 / 17s

πD．{x|x＝2kπ－，k∈Z} 3答案

B 7ππ2π解析

根据所给图象，周期T＝4×(－)＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，123ω7π7ππππ另外图象经过点(，0)，代入有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x＋)＝sin(2x1212266πππππ＋)，当2x＋＝－＋2kπ (k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f(x＋)取得最小值．

66236题型三

三角函数图象性质的应用

命题点1

三角函数模型的应用

πx＋φ例3

(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin6＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(

)

A．5

C．8

答案

C 解析

由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5. ∴ymax＝k＋3＝8. 命题点2

函数零点(方程根)问题

π例4

已知关于x的方程2sin2x－3sin 2x＋m－1＝0在2，π上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．

答案

(－2，－1) 解析

方程2sin2x－3sin 2x＋m－1＝0可转化为

m＝1－2sin2x＋3sin 2x

＝cos 2x＋3sin 2x

ππ2x＋，x∈，π. ＝2sin62713π设2x＋＝t，则t∈6π，6π，

6713m∴题目条件可转化为＝sin t，t∈6π，6π有两个不同的实数根．

2713m∴y＝和y＝sin t，t∈6π，6π的图象有两个不同交点，如图：

2

B．6 D．10 7 / 17s

m1由图象观察知，的范围为(－1，－)，

22故m的取值范围是(－2，－1)．

引申探究

例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．

答案

[－2,1) 1m－1，，

解析

由例4知，的范围是22∴－2≤m<1，

∴m的取值范围是[－2,1)．

命题点3

图象与性质的综合应用

πππ例5

已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相223邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和φ的值；

π(2)当x∈[0，]时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．

2解

(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω2π＝＝2. Tπ又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，

3ππ所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，

32ππ由－≤φ<，得k＝0，

22π2ππ所以φ＝－＝－. 236π综上，ω＝2，φ＝－. 6π(2)由(1)知f(x)＝3sin(2x－)，

6πππ5π当x∈[0，]时，－≤2x－≤，

2666πππ∴当2x－＝，即x＝时，f(x)最大值＝3；

6238 / 17s

ππ3当2x－＝－，即x＝0时，f(x)最小值＝－. 662思维升华

(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．

(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．

(3)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．

ππ3

已知函数f(x)＝cos(3x＋)，其中x∈[，m]，若f(x)的值域是[－1，－]，则m362的取值范围是__________．

2π5π答案

[，] 918解析

画出函数的图象．

π5πππ由x∈[，m]，可知≤3x＋≤3m＋，

6633π5π32π因为f()＝cos ＝－且f()＝cos π＝－1，

6629要使f(x)的值域是[－1，－2π5π只要≤m≤，

9182π5π即m∈[，]．

918

4．三角函数图象与性质的综合问题

xπxπ典例

(12分)已知函数f(x)＝23sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)．

2424(1)求f(x)的最小正周期；

π(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上6的最大值和最小值．

思维点拨

(1)先将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期；

9 / 17s

3]，

2

π(2)将f(x)解析式中的x换成x－，得g(x)，然后利用整体思想求最值．

6规范解答

xπxπ解

(1)f(x)＝23sin(＋)cos(＋)－sin(x＋π)＝3cos x＋sin x[3分] 2424π＝2sin(x＋)，[5分] 32π于是T＝＝2π.[6分] 1ππ(2)由已知得g(x)＝f(x－)＝2sin(x＋)，[8分] 66ππ7π∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，

666π1∴sin(x＋)∈[－，1]，[10分] 62π∴g(x)＝2sin(x＋)∈[－1,2]．[11分] 6故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]

解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：

第一步：(化简)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；

第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝a2＋b2·(sin x·ab＋cos x·)；

a2＋b2a2＋b2第三步：(求性质)利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质；

第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．

π1．为了得到函数y＝cos(2x＋)的图象，可将函数y＝sin 2x的图象(

) 35πA．向左平移个单位长度

65πB．向右平移个单位长度

65πC．向左平移个单位长度

125πD．向右平移个单位长度

12答案

C 10 / 17s

πππ5π解析

由题意，得y＝cos(2x＋)＝sin(2x＋＋)＝sin 2(x＋)，则它是由y＝sin 2x向左平移332125π个单位得到的，故选C. 12π2πx＋＝f(－x)，f＝－1，则实数b的值为2．若f(x)＝sin(2x＋φ)＋b，对任意实数x都有f33(

) A．－2或0

C．±1

答案

A ππππx＋＝f(－x)可得f(x)的图象关于直线x＝对称，∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z.当直解析

由f3662ππππ52x＋＋b，线x＝经过最高点时，φ＝；当直线x＝经过最低点时，φ＝－π.若f(x)＝sin66666252π＝－1，得b＝0；若f(x)＝sin2x－π＋b，由fπ＝－1，得b＝－2.所以b＝－2或由f633b＝0. 3．已知函数f(x)＝3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相π邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为(

) 3πA.

2C．π

答案

C π解析

f(x)＝3sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)(ω>0)．

6ππ1由2sin(ωx＋)＝1，得sin(ωx＋)＝，

662πππ5∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋π(k∈Z)．

6666πππ5令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝π，

66662π∴x1＝0，x2＝. 3ωπ2ππ由|x1－x2|＝，得＝，∴ω＝2. 33ω32π故f(x)的最小正周期T＝＝π.

2πππ4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈(－，)且263f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于(

)

B．0或1 D．±2 2πB.

3D．2π

11 / 17s

1A.

2C.2

2B.3

2D．1 答案

B 解析

观察图象可知，A＝1，T＝π，

∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．

ππ将(－，0)代入上式得sin(－＋φ)＝0，

63πππ由|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin(2x＋)．

233ππ－＋63π函数图象的对称轴为x＝＝. 212ππ又x1，x2∈(－，)，

63x1＋x2π且f(x1)＝f(x2)，∴＝，

212π∴x1＋x2＝，

6ππ3∴f(x1＋x2)＝sin(2×＋)＝.故选B. 632ππ|φ|＜的图象向左平移个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)26π0，上的最小值为(

) 则函数f(x)在2A．－1C.

2答案

A ππ2x＋φ＋的图象，

解析

由函数f(x)的图象向左平移个单位得g(x)＝sin36π因为是奇函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，

3ππ又因为|φ|＜，所以φ＝－，

233

21B．－

2D.3

212 / 17s

π2x－. 所以f(x)＝sin3ππ2ππ0，，所以2x－∈－，，

又x∈2333所以当x＝0时，f(x)取得最小值为－3. 2πω＞0，|φ|＜的最小正周期是π，若将f(x)的6．(2016·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)2π图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象(

) 3πA．关于直线x＝对称

12π，0对称

C．关于点12答案

B 2π解析

由题意知＝π，∴ω＝2；

ωπ2πx－＋φ]＝sin2x＋φ－π，此时关于原点又由f(x)的图象向右平移个单位后得到y＝sin[2333对称，

2π∴－＋φ＝kπ，k∈Z，

32π∴φ＝＋kπ，k∈Z，

3π又|φ|＜，

2π∴φ＝－，

3π2x－. ∴f(x)＝sin3π当x＝时，

12ππ2x－＝－，

36∴A、C错误；

5π当x＝时，

12ππ2x－＝，

32∴B正确，D错误．

7．(2016·全国丙卷)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝sin x＋3cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．

5πB．关于直线x＝对称

125πD．关于点12，0对称

13 / 17s

答案

2π

3ππ2πx－，y＝sin x＋3cos x＝2sinx＋，因此至少向右平移解析

y＝sin x－3cos x＝2sin333个单位长度得到．

8．(2017·长春质检)设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△1KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f()的值为________．

6

答案

3

411解析

由题意知，点M到x轴的距离是，根据题意可设f(x)＝cos ωx，

2212π又由题图知·＝1，所以ω＝π，

2ω1所以f(x)＝cos πx，

211π3故f()＝cos ＝. 62649．(2015·天津)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．

答案

π

2πωx＋，

解析

f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin4因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周2πωπππ期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，4242πππ即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝. 242π110．(2016·邢台模拟)先把函数f(x)＝sin(x－)的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不62ππ3π变)，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象．当x∈(，)时，函数g(x)344的值域为________．

答案

(－3，1] 2

14 / 17s

解析

依题意得

ππg(x)＝sin[2(x－)－] 365π＝sin(2x－)，

6π3π5ππ2π当x∈(，)时，2x－∈(－，)，

446335π3此时sin(2x－)∈(－，1]，

62故g(x)的值域是(－3，1]．

2π11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象过点P(，0)，图象上与点P最近的一个最12π高点是Q(，5)．

3(1)求函数的解析式；

(2)求函数f(x)的递增区间．

ππ解

(1)依题意得A＝5，周期T＝4(－)＝π，

3122π∴ω＝＝2. ππ故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点P(，0)，

12π∴5sin(＋φ)＝0，

6ππ由已知可得＋φ＝0，∴φ＝－，

66π∴y＝5sin(2x－)．

6πππ(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

262ππ得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

63ππ故函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋] (k∈Z)．

6312．已知函数f(x)＝3cos2x＋sin x·cos x－3. 2(1)求函数f(x)的最小正周期T和函数f(x)的单调递增区间；

(2)若函数f(x)的对称中心为(x,0)，求x∈[0,2π)的所有x的和．

π2π解

(1)由题意得f(x)＝sin(2x＋)，∴T＝＝π，

3215 / 17s

πππ令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z. 2325ππ可得函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z. 1212ππkπ(2)令2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－＋，k∈Z. 362∵x∈[0,2π)，∴k可取1,2,3,4. ∴所有满足条件的x的和为2π5π8π11π13π＋＋＋＝. 66663π*13.(2016·潍坊模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．

2

(1)求f(x)的解析式；

πππ(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．

1263Tπ解

(1)由题图知A＝2，＝，

432ππ3则＝4×，∴ω＝. ω32π3π又f(－)＝2sin[×(－)＋φ] 626π＝2sin(－＋φ)＝0，

4π∴sin(φ－)＝0，

4ππππ∵0<φ<，∴－<φ－<，

2444ππ∴φ－＝0，即φ＝，

443π∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin(x＋)．

24(2)由(1)可得

π3ππf(x－)＝2sin[(x－)＋] 1221243π＝2sin(x＋)，

28π1－cos3x＋4π∴g(x)＝[f(x－)]2＝4×

12216 / 17s

π＝2－2cos(3x＋)，

4ππππ5π∵x∈[－，]，∴－≤3x＋≤，

63444ππ∴当3x＋＝π，即x＝时，g(x)max＝4. 4417 / 17s