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授课主题

教学目的

教学重点

平面向量复习

掌握向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；

平面向量与三角函数、解析几何相结合

教学内容

1．

平面向量中的五个基本概念

(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. a(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为|a|. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．

(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．

2．

平面向量的两个重要定理

(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．

3．

平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：

(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 4．

平面向量的三个性质

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

→|＝x－x2＋y－y2. |AB2121(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，

x1x2＋y1y2a·b则cos θ＝|a||b|＝2222. x1＋y1x2＋y2

考点一

平面向量的概念及线性运算

12→＝例1

(1)(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝2AB，BE＝3BC.若DE→＋λAC→(λ，λ为实数)，则λ＋λ的值为________．

λ1AB21212→＋AB→＋AC→＝0且|OA→|＝|AB→|，→在CB→上(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA则向量CA的投影为

(

) A.3

B．3

C．－3

D．－3 1答案

(1)2

(2)A →＝DB→＋BE→＝1AB→＋2BC→＝1AB→＋2(AC→－AB→) 解析

(1)如图，DE23231→2→121＝－6AB＋3AC，则λ1＝－6，λ2＝3，λ1＋λ2＝2. →＋AB→＋AC→＝0，

(2)由OA→＋AC→＝AO→. 得AB又O为△ABC外接圆的圆心，OB＝OC，

∴四边形ABOC为菱形，AO⊥BC. →|＝|AB→|＝2，

由|OA知△AOC为等边三角形．

→在CB→上的投影为|CA→|cos∠ACB＝2cos π＝3. 故CA6

(1)在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单．

(2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”．运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合．

→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成

(1)已知△ABC和点M满足MA立，则m的值为

A．2

(

) B．3

C．4

D．5 →，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°(2)如图，平面内有三个向量OA，

→→→→→→→→OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA＋μOB

(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．

答案

(1)B

(2)6 →＋MB→＋MC→＝0，∴点M是△ABC的重心．

解析

(1)∵MA→＋AC→＝3AM→，∴m＝3. ∴AB→＝OB→＋OA→，|OB→|＝2，|OA→|＝|B→(2)方法一

如图，OC11111C|＝4，

→＝4OA→＋2OB→. ∴OC∴λ＋μ＝6. 考点二

平面向量的数量积

例2

(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为

→·→＝2，则AE→·→的值是________．

BC的中点，点F在边CD上，若ABAFBF(2)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b －c|的最大值为

A.2－1

C.2

(

) B．1 D．2 答案

(1)2

(2)B 解析

(1)方法一

坐标法．

以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则

A(0,0)，B(2，0)，E(2，1)，F(x,2)．

→＝(2，0)，AF→＝(x,2)，AE→＝(2，1)，

故AB→＝(x－2，2)，

BF→·→＝(2，0)·∴ABAF(x,2)＝2x. →·→＝2，∴x＝1. 又ABAF→＝(1－2，2)．

∴BF→·→＝(2，1)·∴AEBF(1－2，2)＝2－2＋2＝2. (2)方法一

由题意知a2＝b2＝c2＝1，

又a·b＝0，

∵(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2≤0，

∴a·c＋b·c≥c2＝1，

∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c

＝3－2(a·c＋b·c)≤1，

∴|a＋b－c|≤1. →与AC→的夹角为120°→|＝3，→|＝2.若A→→＋

(1)(2013·山东)已知向量AB，且|AB|ACP＝λAB→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．

AC7→⊥BC→知AP→·→＝0，

答案

(1)12

解析

(1)由APBC→·→＝(λAB→＋AC→)·→－AB→) 即APBC(AC→·→－λA→→2

＝(λ－1)ABACB2＋AC1＝(λ－1)×3×2×－2－λ×9＋4＝0，

7解得λ＝12. 考点三

平面向量与三角函数的综合应用

例3

已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α

π(1)若α＝4，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；

π(2)若a与b的夹角为3，且a⊥c，求tan 2α的值．

解

(1)∵b＝(cos x，sin x)，

πc＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，

4∴f(x)＝b·c

＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α

＝2sin xcos x＋2(sin x＋cos x)．

π令t＝sin x＋cos x4

则2sin xcos x＝t2－1，且－1

23则y＝t2＋2t－1＝t＋2－2，－1

2232∴t＝－2时，ymin＝－2，此时sin x＋cos x＝－2，

2πx＋即2sin＝－2，

4πππ5∵4

π711π∴x＋4＝6π，∴x＝12. 311π∴函数f(x)的最小值为－2，相应x的值为12. π(2)∵a与b的夹角为3，

πa·b∴cos 3＝|a|·|b|＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．

π∵0<α

π∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin2α＋3＋2sin 2α＝0. 533∴2sin 2α＋2cos 2α＝0，∴tan 2α＝－5. A25→→例4在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cos 2＝5，AB·AC＝3. (1)求△ABC的面积；

(2)若b＋c＝6，求a的值．

A25解

(1)因为cos 2＝5，

A34所以cos A＝2cos22－1＝5，sin A＝5，

→·→＝3，得bccos A＝3，所以bc＝5，

又由ABAC1所以S△ABC＝2bcsin A＝2. (2)对于bc＝5，又b＋c＝6，所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5，由余弦定理得，a2＝b2＋c2

－2bccos A＝20，所以a＝25.

在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．

3已知向量a＝sin x，4，b＝(cos x，－1)．

(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；

33解

(1)∵a∥b，∴4cos x＋sin x＝0，∴tan x＝－4. cos2x－2sin xcos x1－2tan x8∴cosx－sin 2x＝＝＝. sin2x＋cos2x1＋tan2x52考点四：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法

【例】将y2cos的图象按向量a,2平移，则平移后所得图象的解析式为（

）

364xＡ．y2cos2 34Ｂ．y2cos2

34xπxπＤ．y2cos2

312xπＣ．y2cosx3π2

12【解答】∵a,2，∴平移后的解析式为y2cos4x2cos2，选A．

34x3π62

12【评析】理清函数yf(x)按向量a(h,k)平移的一般方法是解决此类问题之关键，平移后的函数解析式为yf[(xh)]k

考点五：求夹角范围

已知|a|2|b|0,且关于x的方程x2|a|xab0有实根,则a与b的夹角的取值范围是

( )

A.[0,2] B.[,] C.[,] D.[,]

63633解析：由关于x的方程x2|a|xab0有实根，得:|a|24ab≥0

ab1ab|a|2.设向量a,b的夹角为θ，则cosθ=,又|a|2|b|0,

4|a||b|1|a|21cos4，∴θ∈[,].[答案] B. 13|a|222【名师指引】要求两向量夹角θ的取值范围,可先求cosθ的取值范围. 变式训练

设非零向量a=x,2x，b=3x,2，且a，b的夹角为钝角，求x的取值范围

 [解析]

a，b的夹角为钝角, abx3x2x23x24x0

41解得x0或

x (1) 又由a,b共线且反向可得x (2) 33114 由(1),(2)得x的范围是,0,,

333考点六：平面向量中的三角形“四心”问题

1．“四心”的概念与性质

(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC的重心时，1有GA＋GB＋GC＝0或PG＝3(PA＋PB＋PC)(其中P为平面内任意一点)．反之，若GA＋GB＋GC＝0，则点G是△ABC的重心．在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重x1＋x2＋x3y1＋y2＋y3心和三个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有x＝，y＝. 33(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形式中，HB＝HB·HA或HA2＋BC2＝HB2＋CA2＝HC2＋HC＝HC·若H是△ABC的垂心，则HA·AB2.反之，若HA·HB＝HB·HA，则H是△ABC的垂心．

HC＝HC·(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角IA＋|CA|·IB＋形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I是△ABC的内心，则有|BC|·

IA＋|CA|·IB＋|AB|·|AB|·IC＝0.反之，若|BC|·IC＝0，则点I是△ABC的内心．

(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角BA＝形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则(OA＋OB)·CB＝(OC＋OA)·AC＝0或|OA|＝|OB|＝|OC|.反之，若|OA|＝|OB|＝|OC|，则点(OB＋OC)·O是△ABC的外心．

2．关于“四心”的典型例题

[例1]

已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．

[解析]

由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋AC是△ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．

[例2]

已知△ABC内一点O满足关系OA＋2OB＋3OC＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB

之值．

[解]

延长OB至B1，使BB1＝OB，延长OC至C1，使CC1＝2OC，连接AB1，AC1，B1C1，如图所示，

则OB1＝2OB，OC1＝3OC，由条件，得OA＋OB1＋OC1＝0，所以点O是△AB1C1的重心．从而S△B1OC1＝S△C1OA＝S1△AOB1＝3S，其中S表示△AB1C1的面积，

111111所以S△COA＝9S，S△AOB＝6S，S△BOC＝2S△B1OC＝2×3S△B1OC1＝18S. 111于是S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝18∶9∶6＝1∶2∶3. [点评]

本题条件OA＋2OB＋3OC＝0与三角形的重心性质GA＋GB＋GC＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．

1．

当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，→＝OB→－OA→

(其中O就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量AB为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．

2．

根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线

长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直．

3．

两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．

4．

平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.

一、选择题

1．

下列命题中正确的是

(

) A．若λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 B．若a·b＝0，则a∥b

C．若a∥b，则a在b上的投影为|a| D．若a⊥b，则a·b＝(a·b)2

答案

D 解析

根据平面向量基本定理，必须在a，b不共线的情况下，若λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0；选项B显然错误；若a∥b，则a在b上的投影为|a|或－|a|，平行时分两向量所成的角为0°和180°两种；a⊥b⇒a·b＝0，(a·b)2＝0. →在CD→方向上的投影为3．

(2013·湖北)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB

(

) 32A.2

315B.2

315D．－2

32C. －2

答案

A →＝(2,1)，CD→＝(5,5)，

解析

AB

→→2×5＋1×5AB·CD→→∴AB在CD方向上的投影为＝22

→5＋5|CD|＝1532＝2. 52→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面积为(

) 4．

(2013·福建)在四边形ABCD中，ACA.5

答案

C →·→＝0，

解析

∵ACBD∴AC⊥BD. 1→→1∴四边形ABCD的面积S＝2|AC||BD|＝2×5×25＝5. 5．

(2013·湖南)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是

(

) B．25

C．5

D．10 A．[2－1，2＋1]

C．[1，2＋1]

答案

A

B．[2－1，2＋2] D．[1，2＋2] 解析

∵a·b＝0，且a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，

∴2c·(a＋b)＝c2＋1. ∵|a|＝|b|＝1且a·b＝0，∴|a＋b|＝2，

∴c2＋1＝22|c|cos θ(θ是c与a＋b的夹角)．

又－1≤cos θ≤1，∴0

∴c2－22|c|＋1≤0，

∴2－1≤|c|≤2＋1. →＝AB→＋3AC→，则△ABM与△ABC的面积6．

若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM比为

1A.5

答案

C 解析

设AB的中点为D，

(

) 2B.5

3C.5

9D.25

→→→→→→→由5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2AM，

→＝2MD→. 即3CM如图所示，故C，M，D三点共线，

3→→且MD＝5CD，

也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，

3则△ABM与△ABC的面积比为5. 二、填空题

7．

(2013·安徽)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．

1答案

－3

解析

由已知条件得a2＝(a＋2b)2，即a·b＝－|b|2，

a·b1cos〈a，b〉＝|a||b|＝－3. 8．

(2013·北京)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若

λc＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则μ＝________. 答案

4 解析

以向量a和b的交点为原点建直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－21λ且μ＝－2，故μ＝4. 三、解答题

11．(2013·江苏)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.

(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；

(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．

(1)证明

由|a－b|＝2，即(cos

α－cos

β)2＋(sin

α－sin β)2＝2，整理得cos αcos

β＋sin αsin β＝0，

即a·b＝0，因此a⊥b. cos α＋cos β＝0(2)解

由已知条件，

sin α＋sin β＝1

又0<β<α<π，

cos β＝－cos α＝cos(π－α)，则β＝π－α，

sin α＋sin(π－α)＝1，

1π5πsin α＝2，α＝6或α＝6，

π5π当α＝6时，β＝6(舍去) 5ππ当α＝6时，β＝6. 12．(2012·湖北)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx，23cos ωx)，设1函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈2，1. (1)求函数f(x)的最小正周期；

3ππ(2)若y＝f(x)的图象经过点4，0，求函数f(x)在区间0，5上的取值范围．

解

(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sin ωx·cos ωx＋λ

＝－cos 2ωx＋3sin 2ωx＋λ

π＝2sin2ωx－6＋λ. 由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，

π可得sin2ωπ－6＝±1，

ππk1所以2ωπ－6＝kπ＋2(k∈Z)，即ω＝2＋3(k∈Z)．

51，1又ω∈2，k∈Z，所以k＝1，故ω＝6. 2π6故T＝2ω＝5π.

6π所以f(x)的最小正周期是5. ππ(2)由y＝f(x)的图象过点4，0，得f4＝0，

π5ππ即λ＝－2sin6×2－6＝－2sin 4＝－2. 5π故f(x)＝2sin3x－6－2. 

3ππ5π5π由0≤x≤5，有－6≤3x－6≤6，

15π所以－2≤sin3x－6≤1，

