2.5.2 向量在物理中的应用举例课堂实录【1】

第五章

第4讲

[A级

基础达标]

→→1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是(

) A．圆

C．双曲线

【答案】D →→【解析】PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，

→→∴PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2.∴y2＝x＋6，即点P的轨迹是抛物线．

→→→→22．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|，则△ABC的形状一定是(

) A．等边三角形

C．直角三角形

【答案】C →→→→→→→→→→→→【解析】由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝→→→→→→0,2AC·BA＝0，∴AC⊥BA，即A＝90°.又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，故△ABC一定是直角三角形．

→→3．(2016年深圳调研)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，则AB·AC＝(

) A．23 C．－23 【答案】D AB2＋AC2－BC222＋22－2321→→→【解析】由余弦定理得cos A＝＝＝－，所以AB·AC＝|AB2AB·AC22×2×21→－＝－2.故选D. |·|AC|cos A＝2×2×24．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是(

) πA．－

6πC．

3【答案】D 1【解析】由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，∴cos θ＝－.又2πB．－

32πD．

3B．2 D．－2 B．等腰三角形

D．等腰直角三角形

B．椭圆

D．抛物线

2π0≤θ≤π，∴θ＝. 3→1→15．(2015年杭州质量检测)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO＝AB＋33→AC，则∠BAC的度数等于(

) A．30°

C．60°

【答案】C →→→→→【解析】取BC的中点D，连接AD，则AB＋AC＝2 AD.由题意得3AO＝2AD，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形．∴∠BAC＝60°.故选C．

B．45°

D．90°

πA>0，ω>0，|φ|<在一个周期内的图象如图所示，M，N分6．若函数y＝Asin(ωx＋φ)2→→别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，则A等于(

) πA．

6C．7π

6B．D．7π

127π

3【答案】B π7π7→→π7π2，A，N，－A，则OM·【解析】由题意知MON＝×－A＝0，∴A＝π. 12121212127．(2017年天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中→→点，点E在线段AB上运动，则EC·EM的最大值为________．

3【答案】

2【解析】以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，1→→1－x，1＝(1－x)2＋1，x∈1，，设E(x,0)，x∈[0,1]，则EC·则C(1,1)，MEM＝(1－x,1)·22213→→[0,1]时，(1－x)2＋单调递减，当x＝0时，EC·EM取得最大值. 228．(2017年太原模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为______．

【答案】4

πθ＋，则|2a－b|＝2a－b2＝

【解析】由题意可得a·b＝3cos θ－sin θ＝2cos64|a|2＋|b|2－4a·b＝πθ＋∈[0,4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4. 8－8cos622，n＝(sin x，cos ，－229．(2015年广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝π0，. x)，x∈2(1)若m⊥n，求tan x的值；

π(2)若m与n的夹角为，求x的值．

3【解析】(1)因为m＝所以m·n＝0，即22，n＝(sin x，cos x)，m⊥n. ，－2222sin x－cos x＝0. 22所以sin x＝cos x．所以tan x＝1. π1(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，

32即π1221x－＝. sin x－cos x＝.所以sin42222ππππ因为0

2→(1)若m＝n＝，求|OP|；

3(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．

2→→【解析】(1)∵m＝n＝，AB＝(1,2)，AC＝(2,1)，

32→2∴OP＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)．

33→∴|OP|＝22＋22＝22.

x＝m＋2n，→(2)∵OP＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，∴

y＝2m＋n，

两式相减，得m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1. [B级

能力提升]

1111．(2017年衡水中学一调)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在32R内有极值，则向量a与b的夹角的范围是(

) π0，

A．6πC．3，π

【答案】C 11【解析】设a与b的夹角为θ.∵f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx，∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b.∵函数32f(x)在R内有极值，∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·ba2＜.又∵|a|＝2|b|≠0，

4a21a·b41∴cos θ＝＜2＝，即cos θ＜.又∵θ∈[0，π]，

|a||b|a222π∴θ∈3，π.故选C．

→1→→→→→12．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA2→在BC方向上的投影等于(

) A．－3C．

2【答案】C →1→→→【解析】由AO＝(AB＋AC)可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以|OA|＝2→→→→|OB|＝|OC|.又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理→→→→可知∠ABC＝30°，且|AB|＝3，所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos ∠ABC＝3×cos 30°3＝.故选C．

2→|AB|→→→13．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－4OB＋3OC＝0，则等于(

) →|BC|3

2B．3

2πB．6，π

π2D．3，3π

D．3

1A．

3C．3 【答案】C 1B．

2D．2 →→→→→→→→→→【解析】由OA－4OB＋3OC＝0，得OA－OB＝3OB－3OC＝3(OB－OC)．所以－AB＝→|AB|→→→－3BC，所以|AB|＝3|BC|，即＝3.故选C．

→|BC|→→→14．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________．

311－，∪，＋∞

【答案】422→→→→→→【解析】由题设知，BA＝OA－OB＝(－3，－1)，BC＝OC－OB＝(－1－m，－m)．

3→→∵∠ABC为锐角，∴BA·BC＝3＋3m＋m>0，可得m>－. 4311→→－，若BA∥BC，则3m＝1＋m，即m＝.故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是4221，＋∞. ∪215．在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos A，sin A)，向量n＝(2－sin A，cos A)，若|m＋n|＝2. (1)求内角A的大小；

(2)若b＝42，且c＝2a，求△ABC的面积．

【解析】(1)|m＋n|2＝(cos A＋2－sin A)2＋(sin A＋cos A)2＝4＋22(cos A－sin A)＝4＋π4cos4＋A. ππ＋A＝4，∴cos＋A＝0. ∵4＋4cos44πππ∵A∈(0，π)，∴＋A＝，A＝. 424(2)由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bccos A，

π即a2＝(42)2＋(2a)2－2×42×2acos，

4解得a＝42，∴c＝8. 112∴S△ABC＝bcsin A＝×42×8×＝16. 222xxx3sin，1，n＝cos，cos2. 16．(2016年江西五校联考)已知向量m＝444

2π(1)若m·n＝1，求cos3－x的值；

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求f(A)的取值范围．

xπ1xxx3x1x1【解析】m·n＝3sin cos ＋cos2＝sin ＋cos ＋＝sin2＋6＋2. 44422222xπ1(1)∵m·n＝1，∴sin2＋6＝2，

πxπ1x＋＝1－2sin2＋＝. ∴cos32622ππ1－x＝－cosx＋＝－. ∴cos332(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得

(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，

∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C．

∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．

∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0. 1π2π∴cos B＝，B＝.∴0＜A＜. 233AππAππ1∴＜＋＜，＜sin2＋6＜1. 62622xπ1又∵f(x)＝m·n＝sin2＋6＋2，

Aπ13＋＋，故1＜f(A)＜. ∴f(A)＝sin262231，. 故f(A)的取值范围是2