2.5.2 向量在物理中的应用举例优质课教案内容

2.5.2向量在物理中的应用举例

一、教学目标：

1．经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题的过程．

2．体会向量是一种处理物理问题的重要工具．

3．培养运用向量知识解决物理问题的能力．

二．重点难点 重点：

1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算. 2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法．

难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．

三、教材与学情分析

向量与物理学天然相联．向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题的认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．

用向量研究物理问题的相关知识．(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量是数乘向量；(3)功即是力与所产生位移的数量积．

用向量知识研究物理问题的基本思路和方法．(1)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(2)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

（一）前置学习

1．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉

力大小为________ N. 2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J. 3．一条河宽为8 000 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________分

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钟．

（二）前置学习

1．力与向量

力与前面学过的自由向量有区别．

(1)相同点：力和向量都既要考虑 又要考虑 ．

(2)不同点：向量与 无关，力和 有关，大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．

2．向量方法在物理中的应用

(1)力、速度、加速度、位移都是 ．

(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的

运算，运动的叠加亦用到向量的合成．

(3)动量mν是 ．

(4)功即是力F与所产生位移s的 . （三）探究

探究点一

向量的线性运算在物理中的应用

向量有丰富的物理背景．向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”；向量在解决涉

及上述物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．

请利用向量的方法解决下列问题：

如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重

力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所

受到的拉力为F1. (1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；

(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．

探究点二

向量的数量积在物理中的应用

物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，

功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它实质是向量F与s的数量积．

例如：已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s) 【典型例题】

例1 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．

2

2

解

建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2.由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,103)，向量v2＝(20,0)，则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10,103)＋(20,0)＝(30,103)，所以|v|＝302＋32

＝203(km/h)．因为1033tan α＝30＝3(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°.所以

帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为203 km/h. 跟踪训练

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某人在静水中游泳，速度为43 km/h，水的流速为4

km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

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例2 已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．

(1)求F1，F2分别对质点所做的功；

(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．

小结

物体在力F作用下的位移为s，则W＝F·s＝|F|·|s|cos θ，其中θ为F与s的夹角．

跟踪训练2 已知F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，求F对物体所做的功．

（三）随堂检测

1．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过3小时，该船实际航程为(

) A．215 km

B．6 km C.84 km

D．8 km 答案：B 点评：由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理，所以要通过作高来求．

2．如图4，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________ N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力F，则F＝________.

图4 答案：41

(5,4)

4

3．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．

→→→答案：如图5所示，设OA表示水流速度，OB表示船垂直于对岸的速度，OC表示船的实际速度，

→∠AOC＝30°，|OB|＝5 km/h.

图5 →→→因为OACB为矩形，所以|OA|＝|AC|·cot30°＝|OB|·cot30°＝53≈8.66 km/h，

→|OA|53→|OC|＝＝＝10 km/h. cos30°32答：水流速度为8.66 km/h，船的实际速度为10 km/h. 点评：转化为数学模型，画出向量图，在直角三角形中解出．

六、课堂小结

七、课后作业

1.课时练与测

八、教学反思

1．本教案设计的指导思想是：由于本节重在解决两个问题，一是如何把物理问题转化成数学问题，

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也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上．而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上，也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系．通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题，然后利用向量知识解决这个向量问题．

2．经历是最好的老师．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．教科书中对本节的两个例题的处理方法，都不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法，就足以说明这一点．

3．突出数形结合的思想．教科书例题都是先画图进行分析的，本教案的设计中也突出了这一点．让学生在活动的时候就先想到画图，并在这个活动中，体会数形结合的应用，体会数学具有广泛的应用，体会向量这个工具的优越性．

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