2.1.2 向量的几何表示教学设计及教案分析

§2.1

平面向量的实际背景及基本概念

南星中学

苏培坤

一、教学分析

本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础. 二、教学目标

1、知识与技能：

了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

2、过程与方法：

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。

3、情感态度与价值观：

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。

三、重点难点

教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 四、教学设想：

（一）导入新课

思路1.(情境导入)

情景设置：问题：如图，一只老鼠和一只猫相距６米，老鼠以每秒４米的速度向东方向逃窜,猫以每秒７米的速度沿东北追,猫在多少时间里会追上老鼠？

思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表

示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择. （二）推进新课、新知探究、提出问题

①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？

②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？

③数量与向量的区别在哪里？

活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量. 教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题. 讨论结果: ①略. ②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量. ③略. 提出问题

①如何表示向量? ②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么? ③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量? ④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗? ⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量? ⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系? ⑦数量与向量有什么区别?

⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别? 活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.起点要写在终点的前面. 已知AB,线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度,记作|AB|.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.

知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定. 用有向线段表示向量的方法是: 1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:AB. 这里要提醒学生注意AB的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点. 2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用a) 3°向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的长度(或称模),记作|AB|(或|a|). 教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义. 讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、CD. 注意:手写体上面的箭头一定不能漏写. ②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大

小和方向相同,也是不同的有向线段.

③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量. ④是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.

又如上图,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b,OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量. 说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系. 思考

1：思考以下几个问题：

(1) 平行向量是否一定方向相同？

(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？

(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

2．判断题：

1.零向量没有方向. （

）

2.向量的模是一个正实数. （

）

3.若|a|>|b| ，则a > b. （

）

⑤长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. ⑥共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小. ⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小[来源学科网]

与方向两个要素,与起点的位置无关. ※

动手试试：

1.判断：

（1）若AB//CD，则AB//CD；

（2）若AB//CD，则AB//CD；

（ 3 ） a与

b共线，b 与

c共线，则

a与

c也共线；（4）模相等的两个平行向量是相等的向量；

（5）平行的向量，若起点不同，则终点一定不同

（6）共线向量一定在同一直线上；

2.下列命题中正确的是

（A）向量的模是一个正实数；

a b

，则（B）若 a b或ab（C）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；

(D)不平行的向量一定不相等；

※

典型例题

例1、如右图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与OA相等的向量.

例2.在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1),是否存在: (1)共线向量? (2)相反向量? (3)相等向量? (4)模相等的向量? 若存在,分别写出这些向量. 

（四）课堂小结

本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.

（五）作业

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

2.下列说法中错误的是（ ）

．．A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的

3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）

A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点

D.一个单位圆

4．已知非零向量a//b,若非零向量c//a，则c与b必定 . 5．已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定

.

（六）教学反思