3.2.2 （整数值）随机数（random numbers)的产生教学设计(第一课时)

3．2.2

(整数值)随机数(random

numbers)的产生

1.了解随机数的意义．

课标解读

2.会用模拟方法(包括计算器产生的随机数进行模拟)估计概率．(重点) 3.理解用模拟方法估计概率的实质．(难点)

知识点1 [导入新知] 1．随机数的产生

(1)标号：把n个大小，形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n；

(2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌；

(3)摸取：从中摸出一个．

这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数．

2．伪随机数的产生

(1)规则：依照确定算法；

(2)特点：具有周期性(周期很长)；

(3)性质：它们具有类似随机数的性质．

计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数．

[化解疑难] 对随机数的理解

计算器或计算机产生的整数随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质，不是真正的随机数，称为伪随机数，即使是这样，由于计算器或计算机省时省力，并且速度非常快，我们还是把计算器或计算机产生的伪随机数近似地看成随机数. 知识点2 [导入新知] 1．利用计算器产生随机数的操作方法

用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．

例如，用计算器产生1到25之间的取整数值的随机数，方法如下：

产生随机数的方法

随机数的产生

2．利用计算机产生随机数的操作程序

每个具有统计功能的软件都有随机函数，以Excel软件为例，打开Excel软件，执行下面的步骤：

(1)选定A1格，键入“＝RANDBETWEEN(0,1)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的0或1. (2)选定A1格，按Ctrl＋C快捷键，然后选定要随机产生0,1的格，比如A2至A100，按Ctrl＋V快捷键，则在A2至A100的数均为随机产生的0或1，这样相当于做了100次随机试验．

(3)选定C1格，键入频数函数“＝FREQUENCY(A1∶A100,0.5)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中，比0.5小的数的个数，即0出现的频数．

(4)选定D1格，键入“＝1－C1/100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率．

[化解疑难] 计算机模拟试验的优点

用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行．因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复地来做试验，不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域．

题型一

随机数的产生方法

[例1]

某校高一年级共有20个班1 200名学生，期末考试时，如何把学生随机地分配到40个考场中去？

解

第一步，n＝1；

第二步，用RANDI(1,1 200)产生一个[1,1 200]内的整数随机数x表示学生的座号；

第三步，执行第二步，再产生一个座号，若此座号与以前产生的座号重复，则执行第二步，否则n＝n＋1；

第四步，如果n≤1 200，则重复执行第三步，否则执行第五步；

第五步，按座号的大小排列，作为考号(不足四位的前面添上“0”，补足位数)，程序结束．

[类题通法]

产生随机数需要注意的两个问题

(1)利用抽签法时，所设计的试验要切实保证任何一个数被抽到的可能性是相等的，这是试验成功的基础(关键词：等可能)．

(2)利用计算器或计算机产生随机数时，由于不同型号的计算器产生随机数的方法可能会有所不同，故需特别注意操作步骤与顺序的正确性，具体操作需严格参照其说明书(关键词：步骤与顺序)．

[活学活用] 用随机模拟方法抛掷一枚均匀的硬币100次，产生计算机统计这100次试验中“出现正面朝上”随机数．

解

利用计算机统计频数和频率，用Excel演示．

(1)选定C1格，键入频数函数“＝FREQUENCY(A1：A100,0.5)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中比0.5小的数的个数，即0出现的频数，也就是反面朝上的频数；

(2)选定D1格，键入“＝1－C1/100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率，即正面朝上的频率. 题型二

利用随机模拟法估计概率

[例2]

(1)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：

907

966

191

925

271

932

812

458

569 683

431

257

393

027

556

488

730

113 537

989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(

) A．0.35

C．0.20

B．0.25

D．0.15 【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机5数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393，共5组随机数，∴所求概率为201＝＝0.25.故选B. 4【答案】B (2)种植某种树苗，成活率是0.9.若种植该种树苗5棵，用随机模拟方法估计恰好4棵成活的概率．

解

利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1 至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为种植5棵，所以每5个随机数作为一

组，可产生30组随机数，如下所示：

69 801

66 097

77 124

22 961

74 235

31 516 29 747

24 945

57 558

65 258

74 130

23 224 37 445

44 344

33 315

27 120

21 782

58 555 61 017

45 241

44 134

92 201

70 362

83 005 94 976

56 173

34 783

16 624

30 344

01 117 这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，9共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为＝0.3. 30[类题通法] 利用随机模拟估计概率应关注三点

用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：

(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；

(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；

(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．

[活学活用] 甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．

先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数．

034

743

738

636

964

736

614

698

637

162 332

616

804

560

111

410

959

774

246

762 428

114

572

042

533

237

322

707

360

751 据此估计乙获胜的概率为________．

【解析】就相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707.共11个．所以采用三局两胜制，11乙获胜的概率约为≈0.367.

30【答案】0.367 易错易误辨析

随机模拟的易错点

[典例]

通过模拟试验，产生了20组随机数：

6830

3013

7055

7430

7740

4422

7884 2604

3346

0952

6807

9706

5774

5725 6576

5929

9768

6071

9138

6754 如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________．

【解析】表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754，共5组数，而随机数总5共20组，所以所求的概率近似为＝25%. 20【答案】25% [易错防范] 1．由题意可知，数字1,2,3,4,5,6代表击中，若不能正确理解各数字的意义，则容易导致题目错解．

2．解决此类题目时正确设计试验，准确理解随机数的意义是解题的基础和关键．

[成功破障] 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：

907

966

191

925

271

932

812

458 569

683

631

257

393

027

556

488 730

113

137

989 则这三天中恰有两天下雨的概率约为(

) 13A.

209C.

207

B.

2011

D.

20【解析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共7组随机7数，∴所求概率为. 20【答案】B

[随堂即时演练] 1．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2，小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为(

)

1A.

21C.

41

B.

31

D.

5【解析】抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共四种，其中21随机数之和为3的情况有(1,2)，(2,1)两种，故所求概率为＝. 42【答案】A

2．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：

5 727

0 293

7 140

9 857

0 347 4 373

8 636

9 647

1 417

4 698 0 371

6 233

2 616

8 045

6 011 3 661

9 597

7 424

6 710

4 281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(

) A．0.85 C．0.8

B．0.819 2

D．0.75 【解析】该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事件的对立事件，故看这20组15数据中含有0和1的个数多少，含有2个或2个以上的有5组数，故所求概率为＝0.75，20故选D. 【答案】D 3．一个正方体，它的表面涂满了红色，在它的每个面上切两刀，可得27个小正方体，从中任取一个它恰有一个面涂有红色的概率是________．

2【解析】恰有一个面涂有红色在每一个侧面上只有一个，共有6个，故所求概率为. 92【答案】

94．从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，则这两个数正好相差1的概率是________．

【解析】从5个数中任取两个，共有10种取法，两个数相差1的有1,2；2,3；3,4；4,542四种，故所求概率为＝. 1052【答案】

55．盒中有大小、形状相同的5只白球2只黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：

(1)任取一球，得到白球；

(2)任取三球，都是白球．

解

用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球．

(1)步骤：

①利用计算器或计算机产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；

②统计这n组数中小于6的组数m；

m③任取一球，得到白球的概率估计值是. n(2)步骤：

①利用计算器或计算机产生1到7的整数随机数，每三个数一组，统计组数n；

②统计这n组数中，每个数字均小于6的组数m；

m③任取三球，都是白球的概率估计值是. n