复习参考题教案及板书设计

三角函数最值问题的常见解法教案

魏岩

高一11班

2018年6月21日

三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：

一．转化一次函数

在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法. 例1．求函数y2cosx1的值域

[分析] 此为yacosxb型的三角函数求最值问题，

设tcosx，由三角函数的有界性得t[1,1]，则y2t1[3,1]

二. 转化yAsin(x)b(辅助角法) 观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一. 例2．（2017年全国II卷）求函数f(x)2cosxsinx的最大值为

.

[分析] 此为yasinxbcosx型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为yAsin(x)B的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|asinxbcosx|a2b2求最值.

f(x)2215.

三. 转化二次函数(配方法) 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理. 例3．

求函数ysinx3cosx3的最小值. 222[分析]利用sinxcosx1将原函数转化为ycosx3cosx2，令tcosx，2

1

31则1t1,yt23t2,配方，得yt,

1t1,当t=1时,即42cosx=1时，ymin0

四. 引入参数转化（换元法）

对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式2sinxcosx212sinxcosx,

一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.

例4. 求函数ysinxcosxsinx.cosx的最大值. x[分析]解：令six12sixncoxsncoxs.，设tsin2cox则st21t21sinxcosxt2,2,yt，其中t2,2

22当t12,sinx1,ymax2.

422的最小值. sinx五.利用函数在区间内的单调性

例5. 已知x0,，求函数ysinx[分析] 此题为sinx单调性来求解. 设sinxt,0t1,yt，在（0，1）上为减函数，当t=1时，ymin3. 六．分类讨论法

a型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，适合用函数在区间内的sinx1t含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论. 例6.设

挑战自我：

1.

求函数y=5sinx+cos2x的最值

2

,用a表示f(x)的最大值M(a).

2.已知函数y量x的集合. 13cos2xsinxcosx1xR当函数y取得最大值时，求自变223.已知函数fx2sinx(sinxcosx)，求函数f(x)的最小正周期和最大值. 参考答案：

1.[分

析]

：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. 533y5sinx12sin2x2sin2x5sinx12sinx4881331sinx1,sinx1,x2k,kz,ymin26

2168133sinx1x2k,kz,ymax24216822.[分析] 此类问题为yasinxbsinxcosxccosx的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为yasinxbcosx型求解. 解：

22511cos2x3sin2x1351131cos2xsin2xcos2xsin2x42222444222157sin2x,2x2k,xkkz,ymax.2646264y

f(x)的最小正周期为，最大值为12. 3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：fx2sin2x2sinxcosx1cos2xsin2x12sn2x

4三、课堂小结

（1）

求三角函数最值的方法有：

（2）

三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而要特别注意题设所给出的区间。

（3）

求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。

3

四、作业：练习卷

4