2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示公开课教案

附一

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

教学目标：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：

一、复习引入：

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不唯一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式唯一. λ1，λ二、讲解新课：

2是被a，e1，e2唯一确定的数量

由物理上重力的正交分解分解引入课题.

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

axiyj…………1

- 1 -

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

a(x,y)…………2 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，

2式叫做向量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算

（1）

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)

（2）

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB=OBOA=( x2，

y2) 

(x1，y1)= (x2 x1，

y2 y1) （3）若a(x,y)和实数，则a(x,y). 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

3.平面向量共线的坐标表示

- 2 -

共线向量如何用坐标来表示？

设a(x1,y1),b(x2,y2)其中b是非零向量,

a//b有且只有唯一一个实数使ab

（x1，y1）=(x2,y2)消去，得

x1y2x2y10

三、讲解范例：

例1．书96页例2 例2 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标. 例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解：法（一）当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2，

2) 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，

6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，

0) 法（二）利用向量加减法做

BDADAB

例7、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），判断A、B、C三点的位置关系。

四、课堂练习：

1.已知向量a(2,3),b(1,2),若manb与a2b共线，m则________.

n2已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标. 3.已知a(4,2),b(6,y),且a//b,求y的值。

- 3 -

4.如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是

（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。

五、小结（略）

六、课后作业（略）

七、板书设计（略）

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2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

课前预习学案

一、

复习回顾：

平面向量基本定理：

理解：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的

; (2) 基底不惟一，关键是

；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、提出疑惑：

如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何呢？

课内探究学案

一、探究学习

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

- 5 -

1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做

，记作

2

a(x,y)…………○2式叫做

与其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i=

,

j=

,

0=

. 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算

（1）

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab=

，ab=

.

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab=

，同理可得ab=

.

（2）

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB=OBOA=( x2，

y2)  (x1，y1)=

. （3）若a(x,y)和实数，则a(x,y). 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

3.平面向量共线的坐标表示

共线向量如何用坐标来表示？

- 6 - 设a(x1,y1),b(x2,y2)其中b是非零向量,

a//b有且只有唯一一个实数使ab

（x1，y1）=(x2,y2)消去，得

x1y2x2y10

二、讲解范例：

例1．书96页例2

例2 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标.

例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

三、课堂练习：

1.已知向量a(2,3),b(1,2),若manb与a2b共线，m则________.

n2已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标. 3.已知a(4,2),b(6,y),且a//b,求y的值。

4.如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是

（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。

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. 五、小结（略）

六、课后作业（略）

七、板书设计（略）

课后练习与提高

1、在平面直角坐标系中，已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），则OA=_______________，OB=__________________。

2、已知向量|a|4,的方向与x轴的正方向的夹角是30°，则a的坐标为_____________。

3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（

）

A．a(0,0),b(1,2)

B．a(1,2),b(5,7)

C．a(3,5)b(6,10)

D．a(2,3)b(4,6)

4、已知向量a(2,4) b(1,2)则a与b的关系是（

）

A．不共线

B．相等

C．同向

D．反向

5、已知点A（2，2）

B（-2，2）

C（4，6）

D（-5，6）

E（-2，-2）

F（-5，-6）

在平面直角坐标系中，分别作出向量AC

BD

EF并求向量AC

BD

EF的坐标。

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讨论记录

1、作为一种数学工具，在中学数学中向量的优势更多地体现在沟通几何与代数，并将几何及其它的一些问题通过代数运算来研究,这样一个思辨的过程变为了一种程序化的操作过程. 向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算.向量基本定理的研究综合了前面的向量知识，同时又为后继的内容作了奠基，这就决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位

2、向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用，因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。

教学反思

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