2.1.3 相等向量与共线向量优质课一等奖

第四篇

平面向量(必修4) 六年新课标全国卷试题分析

高考考点、示例分布图

命题特点

1.高考在本篇一般命制1个小题,分值占5分. 2.高考在本篇重点考查平面向量的线性运算、坐标运算、向量的平行与垂直、求向量的数量积、夹角与模,属容易题.

3.本篇一般不涉及解答题,在知识的交汇上往往以函数的定义域、值域、不等式的解集、曲线的点集为载体进行考查,难度不大. 第1节

平面向量的概念及线性运算

4.掌握向量加法、减法的运算,理解其[考纲展示] 几何意义. 1.了解向量的实际背景. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,2.理解平面向量的概念和两理解两个向量共线的含义. 个向量相等的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何3.理解向量的几何表示. 意义.

1.向量的有关概念

名称

向量

叫做向量的长度(或称模) 零向量

单位

长度等于1个单位的向量

向量

平行

方向相同或相反的非零向量

向量

共线

方向相同或相反的非零向量又叫做向量

共线向量

相等

长度相等且方向相同的向量

向量

相反

长度相等且方向相反的向量

向量

2.向量的线性运算

向量

定义

运算

交换律: 求两个向量和加法

的运算

结合律:

a+b=b+a; 法则(或几何意义) 运算律

0的相反向量为0 不等,不能比较大小

两向量只有相等或0与任一向量

平行或共线

长度为零的向量;其方向是任意的

量

记作0 非零向量a的单位向量为±

定义

既有大小又有方向的量;向量的大小备注

平面向量是自由向

(a+b)+c= a+(b+c) 求a与b的相反向量-b的和减法

的运算叫作a与b的差

λ(μa)= |λa|=|λ||a|. (λμ)a; 求实数λ与向数乘

量a的积的运算

当λ>0时,λa的方向与a的(λ+μ)a 方向相同;当λ<0时,λa的=λa+μa; 方向与a的方向相反;当λ=0λ(a+b) 时,λa=0 =λa+λb 3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa. 【重要结论】

1.若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则OP=1(OA+OB). 2a-b=a+(-b)

2.若A,B,C三点共线,O为A,B,C所在直线外任一点,则OA=λOCOB+μ(λ,μ为实数)且λ+μ=1.

1.设a0为单位向量,下列命题中:①若a为平面内的某个向量,则a= |a|·a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.假命题的个数是( D )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3. 2.在等腰梯形ABCD中,AB=-2CD,M为BC的中点,则AM等于( B ) 131AB+AD AB+AD

(A)1(B)2242113AB+AD AB+AD (C)3(D)4424解析:因为AB=-2CD,所以AB=2DC.又M是BC的中点,所以AM=1

21131AB+AD+DC)= (AB+AD+AB)=AB+AD. (AB+AC)=1(242223.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若AB+AD=λ则λ等于( B ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)6 解析:根据向量加法的运算法则可知,AB+AD=AC=2AO,故λ=2. AO,4.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=

.

解析:由于a,b不平行,所以可将a,b作为一组基底,于是λa+b与11a+2b平行等价于=,即λ=. 122答案:1

25.(教材改编题)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O,且OA=a,OB=b,则DC=

,BC=

.(用a,b表示)

解析:如图,DC=AB=OB-OA=b-a,BC=OC-OB=-OA-OB=-a-b.

答案:b-a -a-b

考点一

平面向量的基本概念

【例1】

给出下列四个命题: ①若|a|=|b|,则a=b; ②若A,B,C,D是不共线的四点,则“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件; ③若a=b,b=c,则a=c; ④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是(

) (A)②③

(B)①②

(C)③④

(D)②④

解析:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. ②正确.因为AB=DC, 所以|AB|=|DC|且AB∥DC, 又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则|AB|=|DC|,AB∥DC且AB,DC方向相同,因此AB=DC. ③正确.因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同, 又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同, 所以a,c的长度相等且方向相同,故a=c.

④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是②③.故选A.

(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量定义的关键是方向和长度. (4)相等向量的关键是方向相同且长度相等. 【跟踪训练1】

下列命题中,正确的是

.(填序号)

①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反; ③向量AB与向量CD共线,则A,B,C,D四点共线; ④如果a∥b,b∥c,那么a∥c; ⑤两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. 解析:①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量; ②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是任意的,故两向量方向不一定相同或相反; ③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行; ④不正确,如果b为零向量,则a与c不一定平行; ⑤正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小;向量的模均为实数,可以比较大小.

答案:⑤

考点二

平面向量的线性运算

【例2】 (1)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则(

) 4(A)AD=-1AB+AC 334(B)AD=1AB-AC

331(C)AD=4AB+AC 331AB-AC

(D)AD=433(2)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB等于(

) 113AB-AC AB-AC (A)3(B)4444113AB+AC

(D)AB+AC

(C)34444114BC=AC+(AC-AB)=-AB+AC.故选A. 解析:(1) AD=AC+CD=AC+1333331AB+AC)+AB=AB-AC.故选A. 解析:(2)EB=EA+AB=-1(444

用几个基本向量表示

某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向量的位置;(2)寻找相应的三

角形或多边形;(3)运用法

则找关系;(4)化简结果.

【例1】

在△ABC中,AB=c,AC=b,若点D满足BD=2DC,则AD等于(

) (A)2b+1c (B)5c-2b 3333333(C)2b-1c (D)1b+2c 3

解析:因为BD=2DC, 所以AD-AB=2(AC-AD), 所以3AD=2AC+AB, 211所以AD=2AC+AB=b+c.故选A. 3333【例2】

在△ABC中,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,若AB=4,且AD=1AC+λ4AB(λ∈R),则AD的长为

.

3解析:因为B,D,C三点共线,所以1+λ=1,解得λ=,如图,过点D分别44作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,则

AM=AN. 又AD=AM+AN, 所以AM=3AB=3. 4所以AD=2·AM·cos 30°=2×3×答案:3332=33.