信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象优质课教案设计

1.1.2 余弦定理导学案

三维目标

一、知识与技能：

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;

2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;

二、过程与方法：

1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;

2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

三、情感态度与价值观：

1.

2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

学习重点

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用。

学习难点

1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程；

2.余弦定理在解三角形时的应用思路；

3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

学法指导

类比学习，数形结合，分类讨论及方程的思想的应用。

学习过程

一、问题引入

问题1.正弦定理在解三角形中有两个应用，你知道吗？

问题2.甲乙两位同学均住在园博园C的附近，已知甲同学家在距离园博园入口300米的A处，乙同学家距离园博园入口400米的B处，角C为60°。某天，甲乙两位同学相约一同参观园博园，请问，你能求出甲乙两同学家相距多少吗？若已知AB，AC,BC 的距离，你能算出角A的大小吗？

可以概括为另外两类解三角形问题：

①已知三角形两边和它们的夹角解三角形；

②已知三角形三边解三角形；

二、余弦定理证明

向量法证明：

问题3.如图，设AB=c,AC=b,BC=a,已知边长a,b,角C，那么向量c的平方是什么？表示为对应的边长c可以得到什么式子？



提示：已知AB=c,AC=b,BC=a,所以b=c+a，故c=b-a，所以c2=(b-a)(b-a)=b·b+a·a-2 a·b =|a|2+|b|2-2|a||b| cos C，所以c2=a2+b2-2ab cos C。

同理得出

b2=_______________

a2=_______________

几何法证明：

问题4.在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=b,试根据b、c、A来表示a.

解：作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA，DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2

=b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证。

问题5. 利用问题3和问题4的结论思考下面的问题：

(1)已知三角形的三边a，b，c，如何表示cos C，cos B，cos A.

(2)根据以上探究过程，试着写出余弦定理的内容：

文字表示：

余弦定理公式：

推论公式：

问题6. 根据余弦定理及其推论的形式，可以解哪两类三角形问题？

提示：余弦定理及其推论可以解决以下两类三角形问题：

(1)

(2)

问题7. 余弦定理与勾股定理的关系

三、例题剖析

【例1】在△ABC中，已知b=2，c=3，A=60°，则a=(

).

【例2】已知在△ABC中，a=2，b=4，c=5，则cos A=________.

【例3】在△ABC中,已知a=2,b=3,A=45°,求C及S△ABC.

解法一:由正弦定理得23sin45sinB,

∴B1=____°, B2=____

∴C1=____°, C2=____°。

∴S1△ABC=2absinC11或S△ABC=absinC

22

解法二

:

由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccosA

2∴2=3+c2-2×3×c×cos45解之,得c,

cab2c21=

2=

。

由cosC=2ab得C1= ，∴S1△ABC=2bc1sinA或S1△ABC= 2bc2sinA

, C2=

1.在△ABC中

(1)已知c=8,b=3,B=60°,求a

(2)已知a=9,b=10,c=15，求cosB

(3)已知a=33,c=2,B=150°,求b

五、课堂小结

六、布置作业

课本第8页练习第1（1）、2（1）题