复习参考题教学设计(第一课时)

《正切函数的图像与性质》教学设计

卢龙县中学

张爱伟

一、教学内容分析：

三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数又是三角函数这个小分支中的一个内容节点。让学生能清晰地认识到所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。正切函数除了一般函数的研究内容外，还要针对其图象的特点，特别地要研究其渐近线。在此也向学生进一步说明华罗庚教授的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会到：数学的美无处不在，数学无处不美。

二、学情分析：

本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版）数学必修四第一章《三角函数》第1.4.3节《正切函数的图像与性质》。本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质之后，又一具体的三角函数。教材首先根据单位圆得到正切函数的定义，给出正切线的概念，并类比画正弦函数图象的方式，利用正切线画正切函数ytanx,x(,)的图象，22

根据图象，研究正切函数的性质。体现了类比思想的应用，体现出数形结合思想在研究函数性质中的重要作用。学生已经掌握了正弦函数图像的画法和利用正弦函数的图象研究函数性质的方法，这为本节课的学习提供了知识的保障，这是有利的因素；但不足之处在于学生不能独立地运用数形结合的思想来研究正切函数的相关问题。

三、教学目标：

1. 知识与技能目标：

①

在对正切函数已有认知的基础上，分析正切函数的性质。

②

通过已知的性质，利用正切线画出正切函数在(③

根据正切曲线，完善正切函数的性质。

2. 过程与方法目标：

在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、

分析问题和解决问题的自主探索的学习习惯和学习能力，养成良好的数学学习习惯。

3. 情感态度价值观目标：

在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成。

,)上的图像，得到正切曲线。

22四、教学重点和难点：

- 1 -

教学重点：正切函数的图象与性质。

教学难点：在单位圆中利用正切线画正切函数的图象。

五、学法分析：

类比学习法：即类比正弦函数图象的画法，作出正切函数的图象；并利用其图象，来研究正切函数的性质。

六、教法分析：

新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生。以此为宗旨，我采用引导教学法，引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合。结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识。

七、教学过程：

本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数。学生已经掌握了角的正切定义，正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障。在此基础上，进一步研究其性质、体会研究函数方法的课，也是为解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备的课．

为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用《超级画板》自制课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

教学过程及学生活动

提问1：首先我们回忆角的正切是如何定义的？

角的正切：tan复

习

旧

知

识

设计说明

让学生体会角的正切定义与正切函数之间的关系，为后续课程做铺垫。 a

b提问2：角是任意的吗 ?

引出正切函数的定义域。

提问3：由tana，让学生分析量与量之间的关系

b正切函数的定义：ytanx

定义域：xxR,xk，,kZ

2

正

切

函

数

利用已有的认知结构，探2．周期性：最小正周期是；tan(x)tanx

究未知的问题。类3．奇偶性：奇函数；tan(x)tanx

比，是研究提问4：类比我们已经学习过的正弦函数、余弦函数的图像与性质，我问题最重们可以从哪些方面来研究正切函数的性质？正弦、余弦函数都有哪些方要的方法面的性质呢？

之一。

【学生回答其性质，教师一一板书。】

善于举1．定义域：xxR,xk,kZ

2

- 2 -

的

性

质

提问5：我们对正切函数也已经有了初步的了解，譬如：正切线，与正切有关的诱导公式等，就已有的知识，下面请同学具体说明正切函数的性质？

反例，不要忽视反例在数学中的作用。

数学结合、利于消

化和吸收！

正

切

函

数

的

图

像

提问6：我们已知正切函数的部分性质，如何利用已有的性质画出正切

函数的图像？

由于正切函数是最小正周期为的周期函数，所以我们只需要画出利用已它在一个周期内的图像，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图知的性质，如何画函像。选择哪一个长度为的区间呢？可以选择区间(,)；而正切函数的图22像？

数又是奇函数，所以只需画出在(0,)的图像。

2

y

体会函

数的性质

与图像之

间的关系。

3x 0 

32222

- 3 -

ytanx(xR,且xk

【值域】

观

察

图

像

，

丰

富

性

质

2,kZ)的图象，称“正切曲线”。

2tanx。

【单调性】

当x且x2时，

tanx；当x2且x2时，对每一个kZ，在开区间(k调递增。

,k)(kZ)内，函数单22形与数

的结合，

更能抓

住问题

的本质。

正切函数的图像是被相互平行的直线xk无穷多支、形状完全相同的曲线组成的。

2(kZ)所隔开的，形

与

数

对比正切函数的性质和图像，分析各个性质在图像上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图像，函数的图像是其性质的直观反应。

例题：

ππ1．函数y＝tan(x－)的定义域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}吗？

322求函数ytan(3x例

题

解

析

3)的定义域、周期和单调区间。

3求函数 的周期.

4求函数y＝tan x－3的定义域

π15 (1)求函数y＝tan －2x＋4的单调区间；

(2)比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．

6画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调性、奇偶性、周期性、对称性．

- 4 -

tan x＋1判断y＝lg的奇偶性．

tan x－1

课

堂

小

结

课

外

作

业

正切函数ytanx的图象及性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）。

求函数的定义域、值域、单调区间，并指出它的周期性、奇偶性。

八、板书设计：

课题：§1.4.3正切函数的图象与性质

一、正切函数的图象：

二、正切函数的性质：

①

定义域：

②

周期性：

③

奇偶性：

④

单调性：

⑤

值 域：

三、例题讲解：

四、课堂小结：

五、课外作业：

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