2.1.3 相等向量与共线向量教学设计及说课稿

2.1.3 相等向量与共线向量

1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点) 2.理解共线向量、相等向量的概念.(难点) 3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点)

[基础·初探] 教材整理1 向量及其几何表示

阅读教材P74～P75例1以上内容，完成下列问题. 1.向量与数量

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示

(1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度. →→→(2)向量可以用有向线段表示.向量AB的大小，也就是向量

AB的长度(或称模)，记作|AB|.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，→→例如，AB，CD.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量可以比较大小.(

) (2)坐标平面上的x轴和y轴都是向量.(

) (3)某个角是一个向量.(

) (4)体积、面积和时间都不是向量.(

) 【解析】

因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x轴、y轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确. 【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

教材整理2 向量的有关概念

阅读教材P75第十八行以下至P76例2以上内容，完成下列问题.

零向量

单位向量

长度为0的向量，记作0 长度等于1个单位的向量

方向相同或相反的非零向量

平行向量(共线向量)

向量a，b平行，记作a∥b 规定：零向量与任一向量平行

相等向量

长度相等且方向相同的向量

向量a与b相等，记作a＝b

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)单位向量都平行.(

) (2)零向量与任意向量都平行.(

) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(

) →→(4)|AB|＝|BA|.(

) 【解析】

(1)错误，长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若b＝0，则(3)不成立；(4)正确. 【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

相等向量与共线向量

探究1 向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否共线？

【提示】

向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b＝0，则向量a与c不一定共线. 探究2 两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？

【提示】

不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关.

(1)如图2­1­1，在等腰梯形ABCD中.

图2­1­1

→→①AB与CD是共线向量；

→→→→②AB＝CD；③AB>CD. 以上结论中正确的个数是(

) A.0

C.2

(2)下列说法中，正确的序号是________. →→①若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；

②零向量都相等；

③任一向量与它的平行向量不相等；

→→④若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝DC；

⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同. 【精彩点拨】

可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断. →→→→【自主解答】

(1)①因为AB与CD的方向不相同，也不相反，所以AB与CD不共线，即①不正确；②由①可知②也不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确. →→(2)因为向量AB与CD是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以A，B，C，D也不一定在一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向→→量可能相等，即③错误；画出图形，可得AB＝DC，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确. 【答案】

(1)A (2)②④

相等向量与共线向量需注意的四个问题：

(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量. (2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相B.1

D.3

同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合. (3)平行(共线)向量无传递性(因为有0). →→(4)三点A，B，C共线⇔AB，AC共线.

[再练一题] 3.如图2­1­2所示，O是正六边形ABCDEF的中心.

图2­1­2

→→→(1)分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量；

→(2)与OA的长度相等、方向相反的向量有哪些？

→→→→→→→→→【解】

(1)与OA相等的向量有EF，DO，CB；与OB相等的向量有DC，EO，FA；与OC相等→→→的向量有FO，ED，AB. →→→→→(2)与OA的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.

1.下列说法中正确的个数是(

) ①身高是一个向量；

②∠AOB的两条边都是向量；

③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；

④物理学中的加速度是向量. A.0 C.2 B.1 D.3 【解析】

只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误.④正确. 【答案】

B 2.在下列判断中，正确的是(

) ①长度为0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③单位向量的长度都相等；

④单位向量都是同方向；

⑤任意向量与零向量都共线. A.①②③ C.①②⑤ B.②③④

D.①③⑤

【解析】

由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然③⑤正确，④不正确，故选D. 【答案】

D 3.设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是(

) A.e1＝e2 C.|e1|＝|e2| B.e1∥e2

D.以上都不对

【解析】

单位向量的模都等于1个单位，故C正确. 【答案】

C 4.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是________. 【解析】

由向量的相关概念可知④⑥正确. 【答案】

④⑥

→5.如图2­1­3所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量AB相等的向量.

图2­1­3

→→→【解】

由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知DC，ED与AB的长度相等→→→且方向相同，所以与向量AB相等的向量为DC和ED.